| 研究概要 |
昨年度に引き続き,閉Riemann多様体が崩壊した際の対応する微分形式に作用するLaplacianの固有値の極限について研究を行った.特に,微分形式の場合は関数の場合と異なり曲率が有界な崩壊であっても,小さい固有値と呼ばれる0へ収束する固有値や,大きい固有値と呼ばれる∞に発散する固有値が存在することがある.従って,これらの特殊な固有値の存在とその崩壊の幾何・トポロジーの関係を解明することが非常に重要である.
我々は,崩壊の典型的な例である2つのコンパクトな境界つき直積Riemann多様体を境界で貼りあわせて得られる崩壊について研究を行った.昨年度は,この崩壊に対して大きい固有値の存在条件が解明できたので,本年度は小さい固有値の存在について研究を行った.その結果,崩壊する多様体のトポロジーが簡単な場合には、小さい固有値が存在しないことが分かった.しかし,トポロジーが複雑になった場合にはもはやこの方法では証明できず,問題は非常に難しくなる.
この困難を解決するには,新たに固有値の極限を調べることが必要であろうと考えた.しかし,一般に固有値の極限を調べることは非常に難しいため,まずは関数の場合に対して調べた.その結果,極限空間が1次元の場合には固有値の収束を証明することができたが、2次元以上になると境界の取り扱いが困難なため未解決である.従って,この解決と一般の微分形式の場合を証明することは来年度の課題である.
なお,フランスのBrestで開かれた国際研究集会に出席し研究発表を行った.また,フランスのNantes大学のAnne氏とEcole PolytechniqueのCourtois氏を訪問し,研究議論および情報収集を行ったことは非常に有意義であった.
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