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1次元ホモロジー群の階数が1以上である閉3次元多様体に対するサイバーグ-ウィッテン方程式の解に1つの幾何的な解釈を与える不変量をハッチングス氏とリー氏やマーク氏が構成していた。彼らの解釈によるとサイバーグ-ウィッテン方程式の解は1次元ホモロジー群の生成元から自然に誘導されるベクトル場に関して、その特異点をつなぐ軌道の本数と閉軌道の本数とを数えそれらをうまく掛け合わせることにより得られる。しかし彼らの不変量を具体的な例について計算することは一般には不可能である。結び目補空間という境界付き3次元多様体に対して彼らの構成と同様の考えに基づいて具体的な例について計算できる不変量を構成した。より詳細には結び目補空間の1次元ホモロジー群は結び目のメリディアンにより生成されるという事実と、結び目補空間のヘガード分解から自然に誘導されるベクトル場を使い、結び目補空間の不変量、つまり結び目の不変量を定義した。ここで構成した不変量の特徴は結び目補空間のヘガード図式を描くと計算できるということである。いくつかの結び目について不変量の計算を実行しこの不変量の計算方法を示した。
結び目の閉組み紐表示と標準的接触構造の入っている3次元球面内の横断的結び目との間に関連があることは既に知られていた。これに類似した関連として結び目のアーク表示とルジャンドル結び目との間に1対1の対応があることを示した。この対応と接触トポロジーにおいて得られていた結果を使うことにより、アーク表示が定義された時からの未解決問題であったトーラス結び目のアーク指数を決定するという問題を完全に解決することができた。
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