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本年度の研究実績は境界付き多様体上のMorseホモロジーの構成を行なったことである;これは本研究課題である凹型のエンドを持つシンプレクティック多様体におけるFloerホモロジーの有限次元版であり、まずこのtoy modelを完成させることにより目標のFloerホモロジーの構成に向けての指針が得られた。具体的には以下のような構成となる:まずコンパクトな境界付き多様体Mを用意し、その内部でhorn型の計量を考える。さらにその内部上のMorse関数Fでしかるべき条件を満たすものを考える。このとき重要となる条件の一つでこのMorse関数Fから定まる境界上のMorse関数fはゼロを臨界点に持たないとする。そこでこのMorse関数FについてのMorse複体を次のように構成する。まずFの臨界点と、fの臨界点でfの値が正のものを生成元とする整数上の加群を作る、次に指数の差が1となる臨界点を結ぶtrajectoryの数を数えることによりバウンダリー作用素を定義する。このようにして構成されるMorse複体から得られるホモロジー群を本研究ではMorse homology of manifolds with boundaryと名付けた。まず第一の結果として、このように構成したホモロジー群がMの特異ホモロジーと同型になることが判明した。次に境界のMorseホモロジーから本研究で得られたホモロジー群への自然な準同型写像が構成でき、そこから相対的ホモロジーの長完全系列の構成に成功した。以上これらの結果を踏まえ論文「Morse homology and manifolds with boundary」を現在執筆中である。
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