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2004 年度 実績報告書

グラフ彩色問題における4色定理の応用、拡張に関する研究

研究課題

研究課題/領域番号 16740044
研究機関東北大学

研究代表者

河原林 健一  東北大学, 大学院・情報科学研究科, 助手 (40361159)

キーワードグラフ理論 / 4色定理 / グラフ彩色 / 曲面上のグラフ / グラフマイナー理論 / Hadwiger予想
研究概要

4色定理の拡張予想であるHadwiger予想と、グラフマイナー理論の関係についての研究を主に取り組んだ。
Hadwiger予想とは、k点からなる完全グラフをマイナーとして含まなければ、k-1彩色可能であるという予想で、k=5のときは、4色定理と同値であることが、1930年代より知られている。また、10年程前に、Robertson, Seymour, Thomasによって、k=6のときも4色定理と同値であることが証明された。kが7以上の場合は現在未解決である。
デンマークの数学者TOFTと本研究者は、数年前に、kが7のときの弱予想である、7点からなる完全グラフと4点ずつの部集合である2部グラフをマイナーとして持たなければ、6彩色可能であることを証明した。この定理が、kが7の場合の攻略第一歩であると信じられており、本研究者は、この1年間研究を進めた。その研究の中で得られた結果は、7点からなる完全グラフと、3点と5点からなる2部グラフをマイナーとしてもたなければ、6彩色可能であるという定理である。来年以降もこの研究路線を継続する予定である。
また、グラフマイナー理論は、Hadwiger予想が動機となり、k点からなる完全グラフをマイナーにもたないグラフはどのような構造をしているか?という問題の解決を与えている。残念ながらこの構造は、漸近的なものであり、Hadwiger予想に対する重要な進展を与えなかったが、本研究者と、Moharらは、グラフが多少大きければ、連結度に線形関数の位数の完全グラフをマイナーとして持つことを証明した。証明はグラフマイナー路りんを使っている。この問題は1970年代より論じられており、Hadwiger予想攻略の第一歩とされている。今後は、彩色数に線形関数の位数の完全グラフをマイナーとして持つことの証明を目指す予定である。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2005 2004

すべて 雑誌論文 (6件)

  • [雑誌論文] Detecting Even Holes2005

    • 著者名/発表者名
      M.Chudnovsky, K.Kawarabayashi, P.Seymour
    • 雑誌名

      Journal of Graph Theory 48(2)

      ページ: 85-111

  • [雑誌論文] K-Linked Graphs with Girth Condition2004

    • 著者名/発表者名
      K.Kawarabayashi
    • 雑誌名

      J.Graph Theory 45(1)

      ページ: 48-50

  • [雑誌論文] Cycles through prescribed vertex set in n-connected graphs2004

    • 著者名/発表者名
      K.Kawarabayashi
    • 雑誌名

      J.Combin.Theroy Ser.B. 90(2)

      ページ: 315-323

  • [雑誌論文] A theorem on paths in locally triangulations.2004

    • 著者名/発表者名
      K.Kawarabayashi
    • 雑誌名

      Europ.J.Combinatorics 25

      ページ: 781-784

  • [雑誌論文] Rooted minors problem in highly connected graphs2004

    • 著者名/発表者名
      K.Kawarabayashi
    • 雑誌名

      Discrete Math. 287

      ページ: 121-123

  • [雑誌論文] Vertex-Disjoint Cycles Containing Specified Vertices in a Bipartite Graph2004

    • 著者名/発表者名
      G.Chen, H.Enomoto, K.Kawarabayashi, D.Lou, K.Ota, A.Saito
    • 雑誌名

      Journal of Graph Theory 46(3)

      ページ: 145-166

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公開日: 2006-07-12   更新日: 2016-04-21  

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