| 研究概要 |
二階算術の上で「どのような集合の存在公理を選べば,与えられた定理が証明されるのと同時に,その定理から逆にその公理を証明することができるか」を調べる研究を逆数学という.本研究の目的は二階算術の部分体系のモデルの性質を分析し,逆数学研究に応用するとともに,従来の研究の拡張として,1.基本体系(base theory)を弱くする.2.二階算術から高階算術の枠組みにかえる.ことを考え,さらに計算可能性にかかわる数学的現象へ応用するこを目標にしている.
本年度は坂本伸幸氏とともに研究した高階算術における逆数学的結果を発表し,さらに幾つかの新しい展開を考えた.例えば,高階(特に3階算術)において,ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理型の主張が複数考えられるが,そのうち未知であったものの一つが,既にその逆数学的な強さを確定できていたものよりも本質的に強いことを示した.
なお,これまでの高階算術の逆数学の結果をまとめたものをCC-セミナーで発表しcomputable analysisや再帰理論との関連性についても議論した.
弱い基本体系での逆数学については,BTFA上における初等的な実解析学の展開について,私がこれまで行ってきた形式化よりも,F.Ferreira氏らの形式化の方が適用範囲が広く,より相応しいだろうことが明らかになってきた.今後はFerreiraの方式にあらため,さらにBTFA上での代数の展開を考えていきたい.
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