| 研究概要 |
この研究の主目的は「超越整関数はFatou集合の周期成分および遊走領域を何個ずつ持つか?」という基本的で重要な問題を考えることであった.具体的には以下のように3つの問題があった:
(1)-I:「有限型超越整関数」に関しては宍倉の不等式の類似,即ち周期成分の個数と特異値の個数の間に,ある不等式が成り立つことがEremenkoとLyubichの両氏によって知られているが,その不等式が最良性を考察する.即ち,その不等式を満たすように各成分の個数を与えたときにそれを実現する有限型超越整関数が実際に存在するのかを考察する.
(1)-II:更に(1)-Iで考察した実例が単に有限型であるだけではなく,具体的な表示を持つものとして実現できるか,を考察する.
(1)-III:一般の超越整関数の場合に各周期成分の個数を0〜∞個まで許し,考え得る全ての組合わせに対し,そのような周期成分の持ち方をするものを構成することを考える.更に可能なら単に存在を示すだけではなく関数の具体的表示,例えばある制限したクラスの中での実現可能性を考える.
(1)-I,(1)-IIについてEremenko-Lyubich不等式を満たす数のいくつかの組に対して,それを実現するような超越整関数を「構造有限型」と呼ばれる具体的な表示をもつものとして得た.しかしEremenko-Lyubich不等式を満たす数の組(注:これには無限通りの可能性がある)の全てに対して,それを実際に実現する超越整関数を得る,という最終解決までには残念ながら到達できなかった.また(1)-IIIについては,grand orbitの意味で遊走領域の個数を無限個まで込めて任意に与えたときに,
(i)Fatou成分としてはそれだけの個数の遊走領域を持ち他にはFatou成分をもたないもの
(ii)Fatou成分としてはそれだけの個数の遊走領域を持ち,更に吸引領域を同時に持つもの
を構成することに成功した.またBaker領域を1つ以上もつもののいくつかの具体例も構成した.これは(1)-Iの範疇には入らないものである.
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