| 研究概要 |
本年度は以下の項目についての研究を行った.
1.非線形Schrodinger方程式のなめらかでない初期条件に対する解
非線形Schrodinger方程式の初期値問題についてはこれまでに様々な結果が得られているが応用上典型的なゲージ不変なべき乗型非線形項に限っていえば解の一意存在が証明され手いる最も広いクラスはL^2である.しかし最近L^2に入らないような特殊な初期値に対して解の存在を示そうとする動きが出てきた.たとえばデルタ関数にL^2摂動を加えた初期値に対しては北氏が解の一意存在を証明している.,今回代表者は初期値としてデルタ関数とp.v.x^<-1>(いわゆるCauchyの主値)の線形和,およびそれにL^2摂動を加えた初期値に対して解の一意存在が成り立つことを証明した.このように方程式の解がどのようなクラスの初期値に対して存在するかという研究は,方程式の数学的構造を詳しく知るという観点のみならず,どの程度特異な波が実際に存在しうるかという物理的な観点からも興味深い.
2.Maxwell-Schrodinger方程式の光速無限大での極限
Maxwell-Schrodinger方程式は荷電粒子とそれが作り出す電磁場との相互作用を記述する方程式であるが,方程式に含まれる光速パラメタを無限大にすると形式的にはHartree方程式に帰着される-粒子の運動が遅いと粒子はHartree方程式に従って運動しているように見える.ここではこのプロセスの正当化を行った.すなわち,適当な仮定の下で光速無限大の極限をとれば,Maxwell-Schrodinger方程式の解はHartree方程式に収束することを数学的に厳密に証明した.
|
