| 研究概要 |
完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式について,その境界値問題の可解性と解の性質について研究している.本年度は特に幾何学的な構造を持つ「曲率方程式」と呼ばれる方程式について詳細な研究を行った.
k次基本対称関数(k=1,…,n,ここでnは空間次元)により定まる曲率方程式(以下,k-曲率方程式と呼ぶ)に対しては,古典解や粘性解よりも弱い意味の解である「広義解」と呼ばれる解の概念が定義でき,それによって非負ボレル測度を非斉次項に持つk-曲率方程式を考察できる,ということは既に研究代表者によって明らかにされていた.これはある種のモンジュ・アンペール型方程式に対して定義された広義解の概念の拡張になっており,広義解の理論の体系化は本研究の目的の一つである.このk-曲率方程式の広義解について解析を行い,(n-k)次元ハウスドルフ測度が0であるコンパクト集合は常に除去可能であることを証明した.ここで,次元n-kはこれ以上大きくすることはできない.この結果は,k-曲率方程式の特別な場合である平均曲率方程式(k=1)に関するSerrinの結果のある種の拡張となっている.また,本結果はk-曲率方程式に対する既存の研究とは異なる手法で得られたもので,その解の性質を深く理解する上での端緒となることが期待される.これらの結果をまとめた研究論文は学術雑誌への掲載が認められ,現在印刷中である.
さらに,本年度はk-曲率方程式の境界爆発問題について,解の存在および境界付近における解の挙動に関する研究結果を得た.このことについての論文を現在投稿準備中である.
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