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楕円型偏微分方程式の解の研究において、ソボレフ関数は非常に有用な道具となる。本研究において、主に楕円型偏微分方程式の解の性質を調べることを目的としている。楕円型偏微分方程式の最も基本的な解は調和関数であり、この関数の性質を深く調べることは重要である。また、一般の距離空間上でのソボレフ関数の研究が、微分幾何学、フラクタルやグラフ上の解析学などへの応用をにらんで、フィンランドなどヨーロッパを中心とした研究者によって精力的に進められている。
本年度の研究は次のように行った。
(1)楕円型偏微分方程式であるラプラス方程式に関連して、半空間におけるL^P関数の分数巾ポアソン核による積分の境界極限値の存在について調べたFatou型定理を見直した。この見直しにより、半空間におけるL^P関数を一般化したOrlicz関数の分数巾ポアソン核による積分の境界極限値の存在について調べ、Fatou型定理について新しい知見を得ることができた。
(2)近年、微分構造を仮定せず、一般の距離空間上でポテンシャル論を確立するために、ソボレフの定理が成り立つような条件を求める試みが盛んになされている。このような枠組みにおけるソボレフ空間の基礎を打ち立てることは、たとえばフラクタルそのものの上のポテンシャル論の展開を可能にし、それによってフラクタル境界を持つ領域における境界値問題の解の境界挙動についての知見も得られると期待される。距離空間上においてソボレフ型定理を発展させることができた。
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