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本研究の目的は、非線形の拡散現象を記述する数理モデルである非線形拡散方程式の解の振る舞いについて、波面やその理想化としての曲面のような空間的な局在構造に着目して、理解を深めることであったが、反応拡散方程式や曲率流方程式等の非線形拡散方程式の解の振る舞いを、主に比較定理や力学系的手法を用いて解析した。特に.『(広い意味での)特異摂動問題』、『力学的に安定な局在パターンが局所的には小さく、しかしながら、大域的には大きな変形を受けたときに示すダイナミクスを支配する縮約方程式の数学的導出』、『解の初期状態と、そこから長時間経過の後に解が示す振る舞いとの関係』、『自己相似解や進行波解に代表されるような後方大域解』等に興味を持って研究を進めた。
単安定系の進行波解の存在・非存在問題について考察を行った結果、次のような予想を得た。この問題に関して一般論を展開する場合、従来の研究では力学系のコンパクト性(あるいは、その類似物)を仮定している。ところが、空間一次元の問題に限っては、系の平行移動不変性と単調性を巧妙に組み合わせた議論を行うことによって従来の結果を拡張できることに気付いた。このことによって、空間一次元の問題については『不連続な進行波』が現れる場合も同列に扱えることが結論できる。
また、非等方拡散方程式について考察を行った結果、等方拡散方程式の球対称解を非線形変換で移すと非等方拡散方程式の解になることが物理的な議論により指摘されていたが、方程式の解を粘性解として解釈することによって数学的にも正当化できることが期待できることが分かった。これによって等方拡散方程式の球対称解に関する結果が非等方拡散方程式の結果として移植できることになる。
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