| 研究概要 |
これまでに蓄積された理想的なランダム行列についての知識を基礎に、非理想ランダム行列の理解を深め、特に、ランダム行列理論によって予言される普遍性の適用範囲を広げ、その限界を明らかにすることを目的として研究を行った。
非理想ランダム行列の振る舞いを記述するモデルとして、直交多項式に関係したモデルが工夫されてきている。これらの変形されたモデルの例として、具体的には、離散化されたランダム行列の数理を考え、特に、置換(permutation)とそれに関連した非対称排他過程(asymmetric exclusion process)の研究を行った。置換は、エルミートランダム行列に対応することが知られているが、特に2乗して恒等置換になるものはinvolutionと呼ばれ、実対称ランダム行列に対応する。ランダム行列理論の方法を適用することにより、involutionの内部数列の相関関数の漸近形を評価した。さらに,置換と密接に関連した非平衡統計物理学のモデルとして、直線上を流れる多粒子系の非対称排他過程について考察した。これまで、特殊な初期条件に対する非対称排他過程をランダム行列に結び付ける等式が知られていたが、これを一般の初期条件に拡張すると、変形されたランダム行列アンサンブルが導かれることを示した。さらに、その結果を使って、流量分布の漸近形を評価することにも成功した。
それに加えて、量子グラフの準位統計も考える予定であったが、最近、連続力学系の準位統計を扱う新しい半古典的な手法が知られるようになったので、これにならい、まずは連続力学系をモデルとする研究に着手した。
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