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量子カオス系のエネルギー準位統計の普遍性の起源を明らかにすることを目標に、半古典量子論にもとづいて、周期軌道和の方法による解析を行った。当初は、量子グラフの方法を用いてこれを行う予定であった。しかし、最近、連続力学系に対して、組み合わせ論的な手法を使って周期軌道の対についての和を評価することにより、エネルギー準位間の相関を高次の項まで計算できることが知られるようになった。そこで、今年度の研究においては、この新しい方法を取り入れて解析を進めた。量子カオス系のエネルギー準位統計の普遍性は、ランダム行列理論にもとづく普遍性クラスに分類することによって理解されている。量子カオス系が普遍性クラスの間を遷移する場合について、磁場をパラメータとして連続的に遷移を記述する相関関数を計算したところ、行列のブラウン運動モデルにもとづくランダム行列理論の予言が再現されることが確かめられた。この組み合わせ論的な方法では、周期軌道の対を数え上げるために置換が使われており、半古典量子論と代数学における表現論との深い関係が示唆される。したがって、ランダム行列理論との対応を軸に、代数学における既知の結果との関係について、より研究を深めていくことが望まれる。また、非理想ランダム行列の振る舞いを明らかにするために、固有値分布のバンド端における局在状態の出現について考察した。レプリカ法にもとづく解析によって局在状態を再現するためには、有効媒質近似によるだけでは十分ではなく、これを補正する近似法が必要になるようである。
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