結び目と３次元多様体の量子トポロジー

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16H02145
• 研究種目: 基盤研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
• 研究分担者: 金信 泰造 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819) ; 伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00710790) ; 谷山 公規 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10247207) ; 藤原 耕二 京都大学, 理学研究科, 教授 (60229078) ; 逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902) ; 大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981) ; 山下 靖 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987) ; 茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978) ; 森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466) ; 玉木 大 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (10252058) ; 志摩 亜希子 東海大学, 理学部, 教授 (50317765)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 結び目 / 3次元多様体 / 不変量

研究成果の概要

結び目のKashaev不変量と双曲体積を関連づける体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何を結びつける懸案の予想である。7交点以下の双曲結び目に対して、体積予想が成立することを筆者は示した。また、「３次元多様体の体積予想」も近年定式化されており、８の字結び目を整数係数手術して得られる３次元双曲多様体に対してこの予想が成立することを筆者は示した。
また、国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」と研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」「結び目の数理」「トポロジーシンポジウム」を開催した。

自由記述の分野

位相幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

幾何化定理により、3次元多様体の分類問題は、3次元双曲多様体の分類に帰着される。さらに、3次元双曲多様体の分類は、リー群PSL(2,C)のある種の離散部分群の分類に帰着されるが、しかし、その分類を実際に実行するのは困難である。
一方、量子トポロジーにおいて、最強の量子不変量であるLMO不変量がホモロジー球面を分類することが期待されている。体積予想を手がかりにして、双曲幾何と量子トポロジーを融合させることが、3次元多様体の分類問題の観点からも重要であるとおもわれる。