| 研究課題/領域番号 |
16H02792
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| 研究機関 | 統計数理研究所 |
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研究代表者 |
栗木 哲 統計数理研究所, 数理・推論研究系, 教授 (90195545)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | チューブ法 / 同時信頼区間 / ウィシャート行列 / ランダム行列 |
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| 研究実績の概要 |
1. チューブ法・期待オイラー標数法の考え方にもとづく実験計画の基準を提案し，その基準のもとで多項式回帰モデルとフーリエ回帰モデルの最適な実験計画をもとめた．また結果を論文にまとめ，投稿した．提案した基準は，Naiman (1986) がチューブ法を用いて構成した同時信頼区間の幅である．多項式回帰モデルとフーリエ回帰モデルにはメビウス群が作用し，提案基準はこの群作用のもとで不変であるという著しい特徴をもつことが示される．論文においてはそれ以外のモデルについても，提案基準による最適計画を論じた．
2. オイラー標数法を用いて，ウィシャート行列，多変量ベータ行列の最大固有値分布の近似を行った．ランダム行列の最大固有値・特異値の分布は，行列の2次形式，双線形形式として定義される確率場の最大値分布であるため，期待オイラー標数法を用いることができる．昨年度の研究で，ガウスランダム行列 (GOE, GUE) の場合には，期待オイラー標数法は行列サイズが発散するときの極限分布であるTracy-Widom分布の上側裾確率を正しく近似することを見いだした．本年度は，統計学でより重要なウィシャート行列，多変量ベータ行列についても同じことが言えることを確認した．
3. 昨年度に引き続き，複数の確率場の最大値の同時分布の裾確率の研究を行った．本研究はエクスカージョン集合のオイラー標数の，モース定理に基づく表現から出発して，2つ以上の確率場の最大値の同時分布の近似を与えるというものである．今回得られた結果とほとんど問題を扱うZhou and Xiao (2017)の間には若干の差異があり，それについて今後精査する必要がある．
以上に加えて， 応用数理全般を対象としたワークショップ「確率・ 統計・ 行列ワークショップ 松本 2017」を 2017年11月9日（木），10日（金）に信州大学理学部で開催した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上述の4つの研究成果のうち，項目1の最適実験計画に関しては，他のモデルへの適用や数値実験を追加し論文を完成させた．項目2については，昨年度扱ったガウスランダム行列の場合以上に複雑な計算を遂行し，期待通りの知見を得た．またその結果を国際学会 ims-APRM 2018 の distinguished lecture で報告した．項目3については，複数の確率場の最大値の同時分布の裾確率の陽な表現を与えることができたため，その有効性が解析的に確認できるまでに至った．
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| 今後の研究の推進方策 |
1. 最大固有値とその類似の分布近似：ランダム行列の最大固有値・特異値の分布は，行列の2次形式，双線形形式として定義される確率場の最大値分布であるため，期待オイラー標数法を用いることができる．いままでの研究で，ガウスランダム行列，ウィシャート行列，多変量ベータ行列の場合に，期待オイラー標数法は行列サイズが発散するときの極限分布である Tracy-Widom 分布の上側裾確率を正しく近似することを見いだしている．今後は，本結果の論文執筆を目標とするとともに，いろいろな固有値の関数や，歪対称行列などの他のランダム行列について同様のことが言えるかどうかを確認する．
2. 2つの確率場の最大値の同時分布の研究：昨年度は，エクスカージョン集合のオイラー標数のモース定理に基づく表現から出発して，2つ以上の確率場の最大値の同時分布の近似分布を導出した．しかし本結果は既存結果の Zhou and Xiao (2017) なら びにその元論文と食い違いがある．これらは Piterberg (1996) の double sum method を拡張し用いている．既存論文を精査し，食い違いの原因を明らかにするとともに，本方法の誤差評価を行う.
3. オイラー標数・ミンコフスキー汎関数の統計挙動：統計量としての確率場のエクスカージョン集合のオイラー標数や，その一般化であるミンコフスキー汎関数は，天文データ解析で標準的に用いられている統計量である．しかしながら，その統計量としての挙動は，解析的に求めることは難しい．それらの分散や共分散を数値計算する方法を開発する．
4. 昨年度に引き続き，必要に応じて他の科研費と共同で，行列解析，確率，統計を横断する学際的な国内研究集会を開く.
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