| 研究課題/領域番号 |
16H03921
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| 研究機関 | 山梨大学 |
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研究代表者 |
成瀬 弘 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (20172596)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | シューベルト・カルキュラス / 同変コホモロジー / フック公式 |
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| 研究実績の概要 |
平成２９年度の前半は、Hall-Littlewood函数の一般コホモロジーでの対応物についての考察を主として行った。母函数を作ることで、今まで知られているシューベルト・カルキュラスに関して登場する函数の性質を統一的に扱うことが期待され、実際それはある程度行うことができた。特に、Factorial Hall-Littlewood函数を定義してその母函数も作ることができた。その基本的な性質やシューベルト・カルキュラスにおける役割についての概略がほぼ明らかになり今後はさらにこの函数に関する議論を精密化していく予定である。
また、Kac-Moody代数の等質空間の同変K理論におけるChevalley公式を用いる事で、d-complete posetの逆平面分割の母函数を記述するフック型の公式を得ることができた。これは、名古屋大学の岡田聡一氏との共同研究の成果である。
別の課題として、Fomin-Kirillov代数の基本的な性質を何らかの形で抽出することを目標とした。これについては、夏休み期間に京都大学に長期研究員として滞在し、Kirillov氏と議論を行うことで何かの糸口をつかむように計画をした。しかしながら、実際に議論を行ったところではKirillov氏からは、残されている課題は非常に難しく、新しい結果は期待できないという説明を受け、具体的な計算例の集積に専念することになった。Krillov氏のある予想について、具体的な計算結果にから予想はそのままでは成立せず修正項が必要なことが判明した。その妥当性については、さらに計算例を積み重ねる必要があり、京都大学での滞在期間中には未解決のままで終わった。本来は、より本質的な代数構造を見つけることが目的であったので、この予想に限らず他の応用も見込んだ良い構造を見つけることを今後の検討課題としたい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Hall-Littlewood函数の母函数表示を得ることができ、それを用いる事で今まで知られているシューベルト・カルキュラスに登場する種々の対称函数の性質をある程度統一的に扱うことができた。Hall-Littlewood函数のパラメータtを1の冪根に特殊化した時に、複素鏡映群に付随する等質空間の同変コホモロジーの基底が得られるという見通しができた。また、シューベルト・カルキュラスに視点から、同変K理論でのChevalley公式を応用することで、d-complete posetの逆平面分割の母函数を表すhook公式をskewの場合に拡張して示すことができた。Fomin-Kirillov代数については、まだ多くの課題が残されているが、基礎的なデータの蓄積がある程度できたことは今後の研究の進展に役立つものと考えられる。以上の通り、いくつかの新しい研究結果が得られたことと、基礎データの蓄積ができたことから、研究はおおむね順調に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究計画としては、まずHall-Littlewood函数の同変版にあたるFactorial Hall-Littlewood函数についての基本的な性質をまとめたい。知られているFactorial Schur Q-函数は、複素鏡映群G(r,1,n)のr=2の場合に対応するC型のWeyl群に付随するGrassmann多様体の同変コホモロジー環のシューベルト基底になっている。一般の$r$の場合にもGoresky-Kottwitz-MacPhersonの環の類似物が知られているので、その枠組みでの一般化された理論体系を構築することができるものと考えている。さらにその議論を通常のコホモロジー理論から一般コホモロジーの場合に拡張することを考えたい。この事は幾何学的にはp-compact群の等質空間のコホモロジー理論を考えることに相当するものと期待されている。また、Hopf代数の視点からこれらを見直すことも考えられ、この点につても考察を進めたい。
別のテーマとして、グラスマン多様体などの組合せ論的構造に対応してマトロイドが最近注目されている。これに付随するコホモロジー環やK理論などの研究が進んでいるが、これを一般コホモロジーの枠組みで捉えて、良い性質をもつ基底を構成し、その交叉理論について考察することも考えてみたい。Fomin-Kirillov代数についても複素鏡映群の場合を考察することで、上記の研究とのつながりが見えてくるものと考えている。その他、可積分系とシューベルト・カルキュラスのつながりについても最近研究が進んで来ているので、関連する研究集会などに参加して情報収集を行い、課題の解決に役立てたい。
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