整環の表現論の総合的研究

2016 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 16H03923
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 伊山 修 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70347532)
• 研究分担者: 高橋 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40447719) ; 毛利 出 静岡大学, 理学部, 教授 (50436903)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: Auslander対応 / d団傾部分圏 / d有限表現型 / 前d団傾部分圏 / 非可換特異点解消 / Gorenstein modification / Auslander-Bridger理論 / 準傾複体

研究実績の概要

高次Auslander対応は, 大域次元と支配次元がともにd+1の多元環を, d団傾加群と呼ばれる特別な加群の自己準同型環として表現論的に特徴付ける. 1団傾加群は有限表現型多元環の加法生成元に他ならないため, d団傾加群を持つ多元環はd有限表現型と呼ばれる.
有限表現型の自己入射多元環(フロベニウス多元環)は80年代に分類論が構築された. Darpoeとの共同研究で, 反復多元環の軌道多元環を用いる従来の手法を, 導来圏が分数的Calabi-Yau性を持つ多元環に適用することにより, d有限表現型の自己入射多元環を構成する統一的方法を発見した.
Solbergとの共同研究で, 高次Auslander対応のGorenstein類似を与えた. d団傾部分圏を拡張した前d団傾部分圏を導入し, 自己入射次元と支配次元がともにd+1の多元環を, 前d団傾加群の自己準同型環として表現論的に特徴付けた.
Dao, Takahashi, Wemyssとの共同研究で, 前d団傾加群の特異点類似であるGorenstein modificationを導入した. 応用として正準加群を持つ正規局所環Rに対し, Rが非可換特異点解消を持つことと, RがQ-Gorenstein環であり, その巡回被覆Sが次数付き非可換特異点解消を持つGorenstein環であることの同値性を, 弱い仮定のもと示した.
上の３人とIyengar, Yoshinoとの共同研究で, Auslander-Bridger理論による非可換特異点解消の構成を与えた.
導来圏で基本的な傾複体を変異の観点から補完するものが準傾複体であり, 中でも2項準傾複体はねじれ対の分類を与える重要なものである. Demonet, Reading, Reiten, Thomasとの共同研究で, ねじれ対の束構造を調べた. これに関しては次年度以降も研究する.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

d有限表現型の自己入射多元環の基礎理論と, 高次Auslander対応のGorenstein類似を公表できた. 非可換特異点解消に関する２つの成果を公表し, 傾理論に関しては, ねじれ対の束理論の主要部分をまとめることができた.

今後の研究の推進方策

Gorenstein整環の特異導来圏に関する諸研究に, じっくりと取り組む予定である.

研究成果

• [国際共同研究] University of Kansas/University of Utah/North Carolina State University(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: University of Kansas/University of Utah/North Carolina State University
• [国際共同研究] University of Glasgow(英国)
  • 国名: 英国
  • 外国機関名: University of Glasgow
• [国際共同研究] Universitaet Bonn(ドイツ)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: Universitaet Bonn
• [国際共同研究] NTNU(ノルウェー)
  • 国名: ノルウェー
  • 外国機関名: NTNU
• [国際共同研究] Nanjing University(中国)
  • 国名: 中国
  • 外国機関名: Nanjing University
• [国際共同研究]
  • 他の国数: 1
• [雑誌論文] Silting reduction and Calabi--Yau reduction of triangulated categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Dong Yang
  • 雑誌名: Trans. Amer. Math. Soc. 巻: 370 ページ: 7861--7898
  • DOI: 10.1090/tran/7213
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Singularity categories and singular equivalences for resolving subcategories (2017)
  • 著者名/発表者名: Matsui Hiroki、Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Mathematische Zeitschrift 巻: 285 ページ: 251～286
  • DOI: 10.1007/s00209-016-1706-x
  • 査読あり
• [雑誌論文] When are n-syzygy modules n-torsionfree? (2017)
  • 著者名/発表者名: Matsui Hiroki、Takahashi Ryo、Tsuchiya Yoshinao
  • 雑誌名: Archiv der Mathematik 巻: 108 ページ: 351～355
  • DOI: 10.1007/s00013-017-1020-9
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the Auslander-Reiten conjecture for Cohen-Macaulay local rings (2017)
  • 著者名/発表者名: Goto Shiro、Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: 145 ページ: 3289～3296
  • DOI: 10.1090/proc/13487
  • 査読あり
• [雑誌論文] Reduction of triangulated categories and maximal modification algebras for cA_n singularities (2017)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Michael Wemyss
  • 雑誌名: J. Reine Angew. Math. 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • DOI: 10.1515/ crelle-2015-0031
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Higher Auslander correspondence for dualizing R-varieties (2017)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Gustavo Jasso
  • 雑誌名: Algebr. Represent. Theory 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • DOI: 10.1007/s10468-016-9645-0
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Geometric linkage and syzygies of modules (2017)
  • 著者名/発表者名: Olgur Celikbas, Mohammad T. Dibaei, Mohsen Gheibi, Arash Sadeghi, Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Commutative Algebra 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Thick subcategories over isolated singularities (2017)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Pacific Journal of Mathematics 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] Lifting preprojective algebras to orders and categorifying partial flag varieties (2016)
  • 著者名/発表者名: Laurent Demonet, Osamu Iyama
  • 雑誌名: Algebra Number Theory 巻: 10 ページ: 1527-1579
  • DOI: 10.2140/ant.2016.10.1527
  • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
• [雑誌論文] Stable Categories of Graded Maximal Cohen-Macaulay Modules over Noncommutative Quotient Singularities (2016)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori, Kenta Ueyama
  • 雑誌名: Adv. Math. 巻: 297 ページ: 54--92
  • DOI: 10.1016/j.aim.2016.04.009
  • 査読あり
• [雑誌論文] Ulrich ideals and almost Gorenstein rings (2016)
  • 著者名/発表者名: Shiro Goto, Ryo Takahashi, Naoki Taniguchi
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: 144 ページ: 2811--2823
  • DOI: 10.1090/proc/12970
  • 査読あり
• [雑誌論文] Perfect linkage of Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings (2016)
  • 著者名/発表者名: Kei-ichiro Iima, Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 458 ページ: 134--155
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2016.03.014
  • 査読あり
• [雑誌論文] Extension closedness of syzygies and local Gorensteinness of commutative rings (2016)
  • 著者名/発表者名: Shiro Goto, Ryo Takahashi
  • 雑誌名: Algebras and Representation Theory 巻: 19 ページ: 511--521
  • DOI: 10.1007/s10468-015-9585-0
  • 査読あり
• [雑誌論文] Annihilation of cohomology, generation of modules and finiteness of derived dimension (2016)
  • 著者名/発表者名: Abdolnaser Bahlekeh, Ehsan Hakimian, Shokrollah Salarian, Ryo Takahashi
  • 雑誌名: The Quarterly Journal of Mathematics 巻: 67 ページ: 387--404
  • DOI: 10.1093/qmath/haw015
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Preprojective algebras and Calabi-Yau algebras (2017)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Subfactors, Higher Geometry, Higher twists and Almost Calabi-Yau Algebras
  • 発表場所: Isaac Newton Institute, University of Cambridge, U.K.
  • 年月日: 2017-03-28
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Cohen-Macaulay modules over Gorenstein local rings (2017)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Seminar Course Homological Algebra (3 Lectures)
  • 発表場所: Universita di Verona, Verona, Italy
  • 年月日: 2017-03-08 – 2017-03-21
  • 招待講演
• [学会発表] Noncommutative resolutions using syzygies (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 第38回可換環論シンポジウム
  • 発表場所: 生産性国際交流センター、神奈川県
  • 年月日: 2016-11-20
  • 国際学会
• [学会発表] Characterization of regular local rings and generation of their residue fields (2016)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Japan-Vietnam joint workshop on commutative algebra
  • 発表場所: 明治大学
  • 年月日: 2016-09-23
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] m-Koszul AS-regular Algebras and Twisted Superpotentials (2016)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori
  • 学会等名: Bridges between Noncommutative Algebras and Algebraic Geometry
  • 発表場所: Banff International Research Station, Banff, AB, Canada
  • 年月日: 2016-09-16
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quasi-hereditary rings and non-commutative resolutions (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 49th symposium on Ring Theory and Representation Theory
  • 発表場所: 大阪府立大学
  • 年月日: 2016-09-02
  • 国際学会
• [学会発表] Balmer spectra of right bounded derived categories of commutative rings (2016)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Commutative Algebra Seminar
  • 発表場所: University of Utah, Salt Lake City UT, USA
  • 年月日: 2016-09-02
  • 招待講演
• [学会発表] Finiteness of global dimension of endomorphism algebras (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: XVII International Conference on Representations of Algebras (ICRA 2016)
  • 発表場所: Syracuse University, USA
  • 年月日: 2016-08-15
  • 国際学会
• [学会発表] Thick tensor ideals of right bounded derived categories of commutative rings (2016)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: XVII International Conference on Representations of Algebras (ICRA 2016)
  • 発表場所: Syracuse University, USA
  • 年月日: 2016-08-10 – 2016-08-13
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Tilting theory for Gorenstein rings in dimension one (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 可換環論セミナー
  • 発表場所: 明治大学
  • 年月日: 2016-07-16
• [学会発表] Quotients of triangulated categories and theorems of Buchweitz, Orlov and Amiot-Guo-Keller (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 代数幾何・複素幾何セミナー
  • 発表場所: 大阪大学
  • 年月日: 2016-07-06
  • 招待講演
• [学会発表] McKay Correspondence and Beilinson Correspondence for AS-regular Algebras (2016)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori
  • 学会等名: Non-commutative crepant resolutions, Ulrich modules and generalizations of the McKay correspondence
  • 発表場所: 数理解析研究所、京都大学
  • 年月日: 2016-06-15
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Higher preprojective algebras and Cohen-Macaulay representations (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Non-commutative crepant resolutions, Ulrich modules and generalizations of the McKay correspondence
  • 発表場所: 数理解析研究所、京都大学
  • 年月日: 2016-06-14
  • 国際学会
• [学会発表] Introduction to Cohen-Macaulay representation theory (2016)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Non-commutative crepant resolutions, Ulrich Modules and generalizations of the McKay correspondence
  • 発表場所: 数理解析研究所、京都大学
  • 年月日: 2016-06-14
  • 国際学会
• [学会発表] Lattice structure of preprojective algebras and Weyl groups (2016)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Algebra Seminar
  • 発表場所: Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norway
  • 年月日: 2016-06-01
  • 招待講演
• [備考] Osamu Iyama's Home Page
  • URL: http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~iyama/
• [学会・シンポジウム開催] Representation Theory of Quivers and Finite Dimensional Algebras (2017)
  • 発表場所: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Germany
  • 年月日: 2017-02-19 – 2017-02-25
• [学会・シンポジウム開催] 49th symposium on Ring Theory and Representation Theory (2016)
  • 発表場所: 大阪府立大学
  • 年月日: 2016-08-31 – 2016-09-03
• [学会・シンポジウム開催] Non-commutative crepant resolutions, Ulrich modules and generalizations of the McKay correspondence (2016)
  • 発表場所: 数理解析研究所、京都大学
  • 年月日: 2016-06-13 – 2016-06-17