整環の表現論の総合的研究

2018 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 16H03923
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 伊山 修 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70347532)
• 研究分担者: 高橋 亮 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40447719) ; 毛利 出 静岡大学, 理学部, 教授 (50436903)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 導来圏・三角圏 / Cohen-Macaulay加群 / 傾理論・団傾理論 / Auslander-Reiten理論 / 完全圏 / extriangulated category / 前射影多元環 / Koszul多元環

研究実績の概要

近年のCohen-Macaulay表現論は, 導来圏・三角圏を制御する傾理論とそのCalabi-Yau類似である団傾理論, さらに古典的および高次元Auslander-Reiten理論の影響を強く受けて発展している. ICM 2018の招待講演で, 主要な研究成果に関するサーベイ講演を行い, proceedingsに解説論文を執筆した(arXiv:1805.05318).

重要な加法圏のクラスとして, 三角圏(Grothendieck-Verdier)と完全圏(Quillen)が挙げられるが, Nakaoka-Paluのextriangulated categoryはこれらの共通の一般化を与える. Nakaoka, Paluとの共同研究で, extriangulated categoryにおけるAuslander-Reiten理論を構築した(arXiv:1805.03776). これは, 従来は三角圏と完全圏で別個に議論されてきたAuslander-Reiten理論の統合を与えるものである. さらにextriangulated categoryの射影対象の極小右概分裂射の擬核と, 移入対象の極小左概分裂射の擬余核を分析し, 適切な仮定のもとで安定圏がτ圏の構造を持つことを示した.

d遺伝多元環Aの高次前射影多元環Πは, Calabi-Yau性を満たす重要な研究対象である. Grantとの共同研究で, AがKoszul多元環の場合にΠを調べた(arXiv:1902.07878). 特に, Πがあるポテンシャル付き箙の高階Jacobi多元環となること, さらにΠが(almost) Koszul多元環となることを示した. またAのquadratic dualの自明拡大環からΠのquadratic dualへの全射準同型を構成し, これが同型となる必要十分条件を与えた.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

ICM2018のproceedingsに解説論文を執筆し, またextriangulated categoryのAuslander-Reiten理論の論文, および高次前射影多元環に関する論文を完成させることができた. さらにいくつもの共同研究が進行中である.

今後の研究の推進方策

Auslander-Reiten理論, 傾理論, 団傾理論, 非可換特異点解消などに関する諸問題に, じっくりと取り組む予定である.

研究成果

• [国際共同研究] The University of Kansas/The University of Utah/North Carolina State University(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: The University of Kansas/The University of Utah/North Carolina State University
• [国際共同研究] University of Glasgow/University of East Anglia(英国)
  • 国名: 英国
  • 外国機関名: University of Glasgow/University of East Anglia
• [国際共同研究] University of Toronto Scarborough/Universite du Quebec a Montreal(カナダ)
  • 国名: カナダ
  • 外国機関名: University of Toronto Scarborough/Universite du Quebec a Montreal
• [国際共同研究] Universitaet Bonn/Universitaet Stuttgart(ドイツ)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: Universitaet Bonn/Universitaet Stuttgart
• [国際共同研究] Universite de Picardie Jules Verne(フランス)
  • 国名: フランス
  • 外国機関名: Universite de Picardie Jules Verne
• [国際共同研究]
  • 他の国数: 2
• [雑誌論文] Auslander-Gorenstein algebras from Serre-formal algebras via replication (2019)
  • 著者名/発表者名: Aaron Chan, Osamu Iyama, Rene Marczinzik
  • 雑誌名: Adv. Math 巻: 345 ページ: 222--262
  • DOI: 10.1016/j.aim.2019.01.010
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] τ-tilting finite algebras, bricks and g-vectors (2019)
  • 著者名/発表者名: Laurent Demonet, Osamu Iyama, Gustavo Jasso
  • 雑誌名: Int. Math. Res. Not. IMRN 巻: 2019 ページ: 852--892
  • DOI: doi.org/10.1093/imrn/rnx135
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Noncommutative resolutions using syzygies (2019)
  • 著者名/発表者名: Hailong Dao, Osamu Iyama, Srikanth Iyengar, Ryo Takahashi, Michael Wemyss, Yuji Yoshino
  • 雑誌名: Bull. Lond. Math. Soc. 巻: 51 ページ: 43--48
  • DOI: doi.org/10.1112/blms.12210
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Tilting modules over Auslander--Gorenstein algebras (2019)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Xiaojin Zhang
  • 雑誌名: Pacific J. Math. 巻: 298 ページ: 399--416
  • DOI: pjm.2019.298.399
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Quotients of triangulated categories and Equivalences of Buchweitz, Orlov and Amiot--Guo--Keller (2019)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Dong Yang
  • 雑誌名: Amer. J. Math. 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Tilting Cohen-Macaulay representations (2019)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 雑誌名: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2018) 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] The classification of 3-dimensional Noetherian cubic Calabi-Yau algebras (2019)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori, Kenta Ueyama
  • 雑誌名: J. Pure Appl. Algebra 巻: 223 ページ: 1946--1965
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2018.08.009
  • 査読あり
• [雑誌論文] Applications and homological properties of local rings with decomposable maximal ideals (2019)
  • 著者名/発表者名: Nasseh Saeed, Sather-Wagstaff Sean, Takahashi Ryo, VandeBogert Keller
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 223 ページ: 1272--1287
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2018.06.006
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Totally reflexive modules and Poincare series (2019)
  • 著者名/発表者名: Gheibi Mohsen, Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 520 ページ: 440--459
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.10.040
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Remarks on dimensions of triangulated categories (2019)
  • 著者名/発表者名: Aihara Takuma, Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 521 ページ: 235--246
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.12.001
  • 査読あり
• [雑誌論文] Degenerations over (A∞)-singularities and construction of degenerations over commutative rings (2019)
  • 著者名/発表者名: Hiramatsu Naoya, Takahashi Ryo, Yoshino Yuji
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 525 ページ: 374--389
  • DOI: 10.1016/j.jalgebra.2018.12.031
  • 査読あり
• [雑誌論文] On steady non-commutative crepant resolutions (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Yusuke Nakajima
  • 雑誌名: J. Noncommut. Geom. 巻: 12 ページ: 457--471
  • DOI: 10.4171/JNCG/283
  • 査読あり
• [雑誌論文] Lattice structure of Weyl groups via representation theory of preprojective algebras (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Nathan Reading, Idun Reiten, Hugh Thomas
  • 雑誌名: Compos. Math. 巻: 154 ページ: 1269--1305
  • DOI: 10.1112/S0010437X18007078
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Silting reduction and Calabi--Yau reduction of triangulated categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama, Dong Yang
  • 雑誌名: Trans. Amer. Math. Soc. 巻: 370 ページ: 7861--7898
  • DOI: 10.1090/tran/7213
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] On the vanishing of self extensions over Cohen-Macaulay local rings (2018)
  • 著者名/発表者名: Araya Tokuji, Celikbas Olgur, Sadeghi Arash, Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Proceedings of the American Mathematical Society 巻: 146 ページ: 4563--4570
  • DOI: 10.1090/proc/13944
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Openness of the Regular Locus and Generators for Module Categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Iyengar Srikanth, Takahashi Ryo
  • 雑誌名: Acta Mathematica Vietnamica 巻: 44 ページ: 207--212
  • DOI: 10.1007/s40306-018-0294-8
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Local cohomology and coherent subsets (2019)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Weakly Seminar on Commutative Algebra, VIASM, Hanoi, Vietnam
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Tilting theory for Gorenstein rings in dimension one (2019)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Interactions between commutative algebra, representation theory, and algebraic geometry, A conference in memoriam Ragnar-Olaf Buchweitz, University of Muenster, Muenster, Germany
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Noncommutative Matrix Factorizations (2019)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori
  • 学会等名: AMS Sectional Meeting “Interactions between Noncommutative Algebra and Noncommutative Algebraic Geometry”, University of Hawaii at Manoa, Honolulu, Hawaii, U.S.A.
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Cohomology annihilators and Jacobian ideals (2019)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Algebra and Number Theory Seminar, University of Mississippi, Oxford, MS, USA
  • 招待講演
• [学会発表] Cohen-Macaulay rings of finite CM+ representation type (2019)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Algebra Seminar, University of Texas at Arlington
  • 招待講演
• [学会発表] Tilting Cohen-Macaulay representations (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Higher homological algebra and cluster tilting, 大阪府立大学
  • 招待講演
• [学会発表] Tilting theory for Gorenstein rings in dimension one (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 特異点論月曜セミナー, 日本大学
• [学会発表] Tilting Cohen-Macaulay representations (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: International Congress of Mathematicians 2018 (ICM 2018), Rio Centro convention center, Rio de Janeiro, Brazil
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Auslander-Reiten theory in extriangulated categories (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Workshop and 18th International Conference on Representations of Algebras (ICRA 2018), Czech Technical University, Prague, Czech Republic
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Tilting Cohen-Macaulay representations (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 城崎代数幾何学シンポジウム2018, 城崎国際アートセンター
  • 招待講演
• [学会発表] Lattice theory of torsion classes beyond τ-tilting theory (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Stability Conditions and Representation Theory of Finite-Dimensional Algebras, Casa Matematica Oaxaca (CMO), Oaxaca, Mexico
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Tilting theory for Gorenstein rings in dimension one (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 代数幾何学セミナー, 京都大学
  • 招待講演
• [学会発表] Auslander algebras for Cohen-Macaulay modules (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: 第40回可換環論シンポジウム, レクトーレ葉山
• [学会発表] Tilting Cohen-Macaulay representations (2018)
  • 著者名/発表者名: Osamu Iyama
  • 学会等名: Conference on Algebraic Representation Theory, Tongji University, Shanghai, China
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Noncommutative Matrix Factorizations (2018)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori
  • 学会等名: 第20回岡山可換代数表現セミナー, 岡山大学
• [学会発表] Tilting Theory in Noncommutative Algebraic Geometry (2018)
  • 著者名/発表者名: Izuru Mori
  • 学会等名: Higher homological algebra and cluster tilting, 大阪府立大学
  • 招待講演
• [学会発表] When is every ideal isomorphic to some trace ideal? (2018)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: KUMUNU 2018, University of Kansas, Lawrence, KS, USA
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Flat ring epimorphisms of commutative noetherian rings (2018)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Commutative Algebra Seminar, University of Nebraska, Lincoln, NE, USA
  • 招待講演
• [学会発表] Transitivity of degeneration of modules (2018)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: Workshop and 18th International Conference on Representations of Algebras (ICRA 2018), Czech Technical University, Prague, Czech Republic
  • 国際学会
• [学会発表] Flat epimorphisms of commutative noetherian rings (2018)
  • 著者名/発表者名: Ryo Takahashi
  • 学会等名: 第40回可換環論シンポジウム, レクトーレ葉山湘南国際村
• [備考] Osamu Iyama's Home Page
  • URL: https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~iyama/