| 研究課題/領域番号 |
16H03931
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
河野 俊丈 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80144111)
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| 研究分担者 |
加藤 晃史 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10211848)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 組みひも群 / 配置空間 / 共形場理論 / KZ方程式 / 量子群 / 超幾何関数 / 高次圏 / 位相的場の理論 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，モノドロミー表現の理論を高次圏に拡張することをテーマとして研究を遂した．具体的には，反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を発展させて，多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現を構成した．この枠組みを配置空間の場合に応用して，組みひものコボルディズムの圏の表現を構成して，4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量の構成についての研究を進めた．さらに，無限小組みひも関係式の圏化およびKZ接続の圏化についての理論を発展させた．昨年度に引き続き，組みひも群のホモロジー表現に関する研究を行った．特に，KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べて，KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，Gauss-Manin接続として表示されることを示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多様体の2次のホモトピー亜群の圏の表現について，反復積分の理論に現れる形式的ホモロジー接続の理論を用いた体系的な理論を構築することができた．これまでに研究されてきた，2-接続の理論との関係が明らかになった．組みひもコボルディズムのなす高次の圏の表現について，反復積分の手法を用いた新たな展開があった．この研究は，量子不変量の圏化の問題においても重要な役割を果たすともに，4次元空間内の2次元組みひもの位相不変量への応用が期待される．
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| 今後の研究の推進方策 |
高次圏の表現に関わる新しい展開があったので，ホモトピー論における圏論的手法についての研究者と共同して研究を進めていく．また，4次元空間内の2次元結び目への応用が期待されるため，この方面の研究者とも積極的に情報交換を進めていく．
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