| 研究実績の概要 |
多様体の基本群の線形表現は，平坦ベクトル束のホロノミー表現と対応するが，この構成を，高次圏に拡張する研究を行なった．具体的には，形式的ホモロジー接続を用いて，高次のホモトピー亜群の高次圏としての表現に拡張した．特に，超平面配置について，形式的ホモロジー接続を具体的に記述し，超平面配置の補集合の2次ホモトピー型について調べた．また，配置空間の場合に，高次のKZ接続を定義し，さらに，これまでに得られていたKZ方程式のモノドロミー表現と量子群との関係を高次圏に拡張することについて研究した．応用として組みひもコボルディズムのなす圏の表現を構成し，Kontsevich積分の2次の圏への拡張として，曲面組みひもとよばれる4次元空間内の曲面の位相不変量を定義した．また，配置空間の場合に，高次のKZ接続を定義し，これまでに得られいたKZ方程式のモノドロミー表現と量子群との関係を圏化することについて研究した．応用として組みひもコボルディズムのなす2次の圏の表現を構成し，2次元組みひもの位相不変量を定義した．組みひも群のホモロジー表現は，点付き円板の写像類群としての，配置空間のアーベル被覆のホモロジー群への作用として定義されKrammer, Bigelowらによって研究された．KZ方程式の解の超幾何関数による積分表示を用いて，組みひも群のホモロジー表現とKZ方程式のモノドロミー表現との関連を明らかにした．共形場理論の場合は無限遠でレゾナントであり，共形ブロックへの組みひも群の表現は量子群の1のベキ根における表現の対称性をもつ．この場合に，積分サイクルの構造を詳しく調べ, KZ方程式が，代数多様体の周期積分の満たす微分方程式として表されること，つまり，Gauss-Manin接続として表示される
ことを示した．
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