平均曲率型フローに現れる特異点の幾何構造の解明

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16H03937
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 福岡大学
• 研究代表者: 成 慶明 福岡大学, 理学部, 教授 (50274577)
• 研究分担者: 山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657) ; 納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180) ; 塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 平均曲率フロー / 最大値原理 / 特異点 / 部分多様体 / リーマン多様体

研究成果の概要

本研究課題では広義最大値原理を用いて、完備セルフーシュリンカーの分類研究を行い、重要な研究成果を得た。λ-超曲面の研究について、埋め込みコンパクトλ-超曲面を構成し、 第2基本形式の長さが一定で完備λ-曲面を完全に分類した。完備非コンパクトなλ-超曲面が多項式面積増大度をもつための必要十分条件はそれが正則であることを示した。閉波面に対するガウス・ボンネの定理を、「ガウス写像の写像度」の立場から高次元化した。有限体積かつ負断面曲率をもつ完備非コンパクトなリーマン多様体のエンドについて、重要な進展を与えた。種数２の閉曲面について、ラプラシアンの第1固有値を最大化するという予想を肯定的に解決した。

自由記述の分野

Differential Geometry

研究成果の学術的意義や社会的意義

我々は独自のアイディアで新しい研究方法を開発し，完備セルフーシュリンカーの分類を研究した。λ-超曲面はセルフーシュリンカーの一般化として新しい研究課題で, 我々は完備λ-超曲面の面積増大度を研究し, 完備λ-超曲面の分類研究も行なった。 非正則点を許す曲面の幾何学は幾何学におけるとても有望な研究分野であるし, プラシアンの第1固有値の研究は幾何学及び解析学の分野で最重要な研究課題である。従って, 本研究は学術的に意義深いもので，幾何学の発展に大きく貢献することになると思われる。曲率フローは社会の様々な側面に現れるので, 学術的意義のみならず, 近い将来現実社会問題を解決に役に立つと思われる。