| 研究課題/領域番号 |
16H03939
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
尾畑 伸明 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (10169360)
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| 研究分担者 |
長谷川 雄央 茨城大学, 理学部, 准教授 (10528425)
瀬川 悦生 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (30634547)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 量子確率論 / スペクトル解析 / ネットワーク数理 / 量子ウォーク / 確率解析 / 量子ホワイトノイズ / 直交多項式 / グラフスペクトル |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目標は、可換な変数を非可換代数に埋め込み、非可換代数の表現を通して統計性の本質に迫る「非可換系の確率解析」の体系化にある。それにむけて設定した主要4課題に対して、国際共同研究を核とした研究実施体制を整えて、応用面も含めて課題探索を行い、いくつかの課題を解決し、国際会議や論文で発表した。
（１）量子確率論 従来の量子分解法は一変数直交多項式に準拠するため、それを多変数直交多項式を用いて拡張するのは自然ではあるが、多変数直交多項式に関するスペクトル理論が困難であるため、新しいアイデアを必要としてきた。強正則グラフ対による具体的な計算を行い、超幾何関数との関連が明らかとなり、これまでの困難を乗り越える道筋が見えてきた。
（２）量子ホワイトノイズ解析 ボゾンフォック空間上の作用素を量子ホワイトノイズを変数とする関数として表示でき、量子ホワイトノイズによる微分演算が導入できる。この観点から、従来、様々な作用素を微分方程式の解として特徴づけてきたが、量子ホワイトノイズの2次関数に関して、ボゴリューボフ変換やギルサノフ変換の特徴づけが完成し論文発表に至った。
（３）量子ウォーク 局在化を与えることで知られている3状態量子ウォークの真空モーメントの積分表示を与え、そこから弱収束の極限定理が導かれる生成作用素を形式的に導出した。これを用いて一般の量子コインで局在化が与えられるための有用な十分条件を導出できた。
（４）ネットワーク数理への展開 べき分布を次数分布にもつコンフィグレーションモデルに対して数値計算手法を確立して、連結成分の現れ方に関するシミュレーション結果を集積した。いくつかの統計量について、べき指数の臨界点についての予想を立てるとともに、既存研究との比較と数理的なアプローチを検討した。ほかに、グラフの距離行列のスペクトル解析、細胞内ダイナミクスの確率モデルなどに成果を出した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
主要4課題について一定の成果が上がっている。
（１）量子確率論 量子分解法の一般化について膠着状況が続いていたが、強正則グラフ対による具体的な計算を通して、超幾何関数との関連が明らかとなり、その観点から量子分解法の2変量化を探る道筋が見えてきた。
（２）量子ホワイトノイズ解析 量子ホワイトノイズによる微分方程式論には一定の成果が上がり、一区切りついた。次の段階に進むため、繰込みなどの量子物理に動機づけられた課題、それへの断片的な取り組み等を整理して、系統的に課題設定する段階に来た。
（３）量子ウォーク モデルごとに様々な結果が得られる一方で、古典ランダムウォークに比肩されうる統一理論を模索し始めている。
（４）ネットワーク数理への展開 計算機シミュレーションや生物系への応用などへの展開が順調に進んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまで同様に、研究分担者とともに国際共同研究の体制を維持して課題の解決にあたる。
（１）量子確率論 強正則グラフ対のスペクトル解析を継続するとともに、そのアイデアをアソシエーションスキームに拡張する。その中で、量子分解法の多変量化を探る。
（２）量子ホワイトノイズ解析 繰込みなどの量子物理に動機づけられた課題を整理して、量子ホワイトノイズの応用を広げる。
（３）量子ウォーク 分布の時間発展と極限分布の分類を、適切な統一化されたモデルに対して行う。同様に、局在化の原理を探り、量子物理への応用を検討する。
（４）ネットワーク数理への展開 引き続いて、ランダムグラフの計算機シミュレーションをもとに数学的な厳密証明を模索する。生物系ネットワークへの応用問題を継続する。
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