| 研究実績の概要 |
研究計画調書にある研究計画は以下であった.
(A. ラフパス理論によるGibbs測度の構成と応用) (1) UV をくりこんだGibbs測度, また2重確率積分を備えたGibbs 測度の構成.(2)ラフパス理論を用いた基底状態の解析.(3)基底状態が非存在のときやUV を外したGibbs測度を構成する.(B. 基底状態の研究)(1) 特異性の高いハミルトニアンの基底状態の存在を非摂動的に示す. (2) 基底状態の空間的指数減衰性の下からの評価を与える. (C. 確率解析的UVくりこみ理論)(1) 非局所的な運動項をもったハミルトニアンの確率解析的UVくりこみ理論の構築. (2) Bernstein関数による一般化. (D. 多様体上の場の量子論の研究) 時間的に安定な$3+1$次元 ローレンツ多様体上に定義したNelson 模型のスペクトルと多様体の局所的な性質の関係を明らかにする. (E. 場の量子論におけるSDEと古典極限の研究)(1) 古典極限によってウイグナー測度を導く.(2)非局所的な模型に付随したSDEを構成する.
H28,29年度は(A1),(A2),(B1),(C1)で研究が進んだ. H30年度は(A1)(B1)でOliver Matte教授(Aalborg大学)と共同で大きな進展があり論文にまとめた. そこでは基底状態の存在・非存在とギブス測度の存在および局所性を非摂動的に示すことができた. 非局所的な模型(semi-relativistic PF模型)のスペクトル解析も佐々木教授(信州大学)と研究が進み論文にまとめた. (E1)ではZied Ammari教授(RennesI大学)と研究成果をまとめ論文を書き始めた.(B2)に関しては下からの評価ではないが上からの各点(pointwise)での評価を得ることができ, 査読付き論文として出版した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
(A1)(B1)に関してはOliver Matte 教授と共同でH29年度に大きな進展があった. H30年度に一年かけて論文にまとめ国際誌に投稿した (arXiv:1903.12024 Ground states and associated path measures in the renormalized Nelson model). 内容は, くりこんだNelsonハミルトニアンの基底状態の存在・非存在とギブス測度の存在を示し、さらに基底状態の空間、ボゾン粒子数、場の変数に関する局所性を示した。これらの結果は当初の予想を大きく超えている.
(E1)に関してはH29年度に具体的な模型に関して計算が進んだが, H30年度は. Zied Ammari教授と抽象的一般的な場合まで研究が進み現在論文執筆中である.
(C1に関しては)非局所的な模型(semi-relativistic PF模型)のスペクトル解析が進んだ(arXiv:1609.07651 Spectrum of the semi-relativistic Pauli-Fierz model II). 特に基底状態の証明で使われる従来のコンパクト性の議論を大幅に改良して一般化できた. 現在論文を校正中である.
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