| 研究課題/領域番号 |
16H03943
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
宮地 晶彦 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60107696)
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| 研究分担者 |
古谷 康雄 東海大学, 理学部, 教授 (70234903)
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
冨田 直人 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10437337)
筒井 容平 信州大学, 学術研究院理学系, 助教 (40722773)
澤野 嘉宏 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (40532635)
小林 政晴 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 調和解析 / 実関数論 / 関数空間 / 偏微分方程式 / 特異積分作用素 / 最大関数 |
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| 研究実績の概要 |
多重線形の特異積分作用素の有界性と非有界性に関する研究成果。(1)双線形擬微分作用素のexotic classと呼ばれるクラスに対して、臨界の指数でのLebesgue空間とHardy空間での有界性に関する結果を得た。(2)双線形擬微分作用素の新しいクラスを導入し、これまで知られていたL^2空間での有界性の結果をアマルガム空間を用いて拡張した。この論文は現在準備中である。
調和解析に現れる非負作用素の重み付き不等式に関する研究成果。(3)双線形の分数階積分作用素に対する重み付き評価について、既存の結果を改良し、また重み関数がべきの形の場合に評価の成り立つための必要十分条件を得た。(4)分数階最大作用素に対して、Fefferman-Stein型の不等式やHausdorff contentを用いた評価など、新しい評価を得た。
調和解析における関数空間の研究。(5)Morrey空間の双対空間と補間に関する新たな結果を得た。(6)モデュレーション空間とWienerアマルガム空間への作用関数の解析性に関する結果を示した。
偏微分方程式への調和解析の方法の応用に関する研究成果。(7)Schrodinger作用素がWienerアマルガム空間で有界になるための必要十分条件を示した。(8)領域上のBMO空間の新たな特徴づけを示し、熱方程式とNavier-Stokes方程式の解の評価に応用した。(9)最大Riesz平均作用素に関連する或る時間平均作用素に対してスパース評価を示した。この評価は4次元以上の場合にはある意味で最良なものである。(10)全空間における非圧縮性Navier-Stokes方程式の定常解の斉次Besov空間における安定性を示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多重線形の擬微分作用素など、調和解析に現れる多重線形特異積分作用素の研究は、本研究課題の大きな目標のひとつであるが、これまでに双線形の擬微分作用素について、有界性を保証するシンボルの微分可能性の条件の緩和や臨界指数のHormanderクラスに対する有界性について、結果を得たことは大きな成果である。また、Hormanderクラスを含む広いクラスについても考察し、アマルガム空間での評価が有用であることが分かってきている。
多重線形分数階積分作用素の重み付き評価に関して、既存の結果を拡張したほかに、べきの形の重みの場合に有界性の成り立つ必要十分条件を得るなど、今後の研究の指針となる事実を見出している。調和解析における最大作用素の研究では、強最大作用素や方向型最大作用素に関して、contentを利用した新たな成果を得ている。
調和解析に現れる関数空間の研究として、Morrey空間の他に、アマルガム空間とWienerアマルガム空間が、作用素の研究の中に関連して現れ、それらの関数空間自身の性質の研究も進めることができた。
調和解析における実関数論の結果を偏微分方程式などの解析に応用することに関しては、領域上のBMO空間を利用したStokes方程式や熱方程式の解析などにおいて成果があった。また、或る種の振動積分作用素に対して、スパース評価を得たことは、今後の発展につながるものと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
双線形擬微分作用素の有界性について、Hardy空間とLebesgue空間を非斉次Hardy空間や非斉次BMO空間で置き換えた場合について解決する。また、昨年度導入した双線形擬微分作用素の新たなクラスについて、アマルガム空間での有界性はほぼ確立したが、Lebesgue空間やHardy空間での有界性についての結果をまとめる。さらにそれらの結果を多重線形の場合へ拡張する。
非負作用素の研究では、昨年度まで主に田中が中心となって進めてきた研究を、今年度は古谷と澤野が協力し、実関数論の方法と種々の関数空間の方法を取り入れて、研究を進める。
調和解析に現れる関数空間の研究では、種々の形のMorrey空間とアマルガム空間の研究を進める。擬微分作用素の研究で我々が見出した新たなクラスは、Morrey空間と関連があるように見られるので、澤野、宮地、冨田が協力して研究を進める。
調和解析における実関数論の方法の偏微分方程式への応用の研究は、これまで同様、筒井と小林が中心となって進める。
以下の研究集会に参加し、我々の研究成果を随時発表し、また研究情報交換と研究討論を行う。「調和解析と非線形偏微分方程式」(7月、京都大学数理解析研究所)。East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications, (8月、Chung-Ang大学)。International Conference on Function Spaces and Geometric Analysis, (9-10月、南開大学)。TSIMF Harmonic Analysis and Applications (2020年1月)。合同シンポジウム、日本数学会秋季総合分科会、実解析学シンポジウム、調和解析セミナー、その他の関連する研究集会に随時参加し、研究情報交換と研究討論を行う。
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