| 研究課題/領域番号 |
16H03944
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 散乱理論 / S行列 / ディリクレ―ノイマン写像 / 逆問題 / 境界制御法 / ゲルファント―レビタン法 |
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| 研究実績の概要 |
非コンパクトなリーマン多様体上での散乱の逆問題を研究している. 多様体の有限部分では任意のリーマン計量を与え、無限遠の近傍ではある標準的な計量に漸近するものとする。この多様体のラプラシアンを用いて波動方程式を考える。無限の過去において多様体の無限遠から入射された解は多様体の有限部分において反射され、再び無限遠に帰る。このとき解の無限遠における波形から散乱行列（S行列）が定義される。このS行列から多様体を再構成するのが研究の目的である。本研究では多様体の無限遠部分には考え得る限りの最も一般的な計量を許し、すべてのエネルギーに対応するS行列を与えて多様体の計量の決定を行う。無限遠において多様体の体積が増大する場合と減少する場合の双方を許し、その増大度、減少度は多項式的と指数関数的の双方を許すものとする。増大する無限遠部分においてはオービフォールドの構造をもち、有限部分ではより一般な垂状特異点を教養するものとする。この一般的な設定の下で散乱の順問題を完成した。すなわち、多様体上での一般化されたフーリエ変換を構成し、S行列を定義した。逆問題はこれまでの研究により、錘状特異点以外の部分については解決される。残っているのは錘状特異点の取り扱いであり、現在はそこに集中している。
ユークリッド空間内の回転面をスペクトル量から決定する逆問題を解決した。これはリュービル変換により１次元の境界値問題の逆問題に帰着されるのだが、ある非線形写像の値域決定問題に帰着され、無限次元空間における解析関数論が必要となる。これらのことを解決し、回転面のスペクトル的特徴づけができた。特に、回転面に対する Minkowski の問題を解決した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非コンパクト多様体上の散乱の順問題については必要事項をすべて研究し、90ページに上る草稿としてまとめた。Minkowski 問題については現在論文を投稿中である.
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| 今後の研究の推進方策 |
非コンパクト多様体上の逆問題の部分については共同研究者たちとの直接の対話が必要であり秋以降に海外共同研究者が来日しての共同研究と代表者の相手国渡航を予定している。
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