| 研究実績の概要 |
Navier-Stokes (N-S)方程式の初期値問題のスケール不変空間における適切性について以下の結果を得た. まず, 初期値が斉次Besov空間, 外力が時間重み付き斉次Besov空間に属し十分小さなときに, 時間重み付き斉次Besov空間に属する解が存在し, 時間大域的に適切であることを証明した. また初期値, 外力共に高周波部分に制限を加えた同じクラスの大きなデータに対して, 時間局所解が一意に存在することを証明した. 次に, Stokes方程式の初期値問題に対する最大Lorentz正則性の結果を導き, N-S方程式の初期値問題に対して, スケール不変空間として初期値が斉次Besov空間, 外力が空間変数について斉次Besov空間, 時間変数についてLorentz空間に属し十分小さなときに, Serrinクラスに属する時間大域解の一意存在を証明した. そして, この結果の応用として, 特異なデータに対して, 具体的には2次元ではDiracのDelta関数を初期値及び外力データとして, 3次元では球面上1重層ポテンシャルとしてのDelta関数をデータとしてそのN-S方程式の解がSerrinクラスに属することを証明した.
減衰しない初期データに対するN-S方程式の初期値ー境界値問題として, 2次元外部領域において, L無限クラスの初期値に対し, 時間大域解の一意存在を証明した. また, ２次元半平面（3次元半空間）において, L無限かつ2より（3より）大きな指数pに対し, 1階微分がLpとなるクラスに属する減衰しない初期データに対し, 時間大域解の一意存在を証明した. 2次元の解は時間が少し経過した後は古典解となるが, 3次元の解は弱解である.
さらに, 有界領域における電磁流体方程式の平衡解の安定性を, 時間重み付き最大正則性を用いて臨界関数空間で証明した.
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