| 研究課題/領域番号 |
16H03946
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
赤木 剛朗 東北大学, 理学研究科, 教授 (60360202)
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| 研究分担者 |
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
岡部 真也 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70435973)
梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261)
木村 正人 金沢大学, 数物科学系, 教授 (70263358)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 解析学 / 函数方程式 / 非線形解析 / 不可逆過程 / 発展方程式 |
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| 研究実績の概要 |
Fast Diffusion 方程式 (FD) の解の漸近形に対する安定性解析について以下の研究成果を得た. (FD) はプラズマの特異拡散や地下水の浸透現象を記述するモデル等に現れる. 特に斉次 Dirichlet 境界条件を伴う場合, 解が有限時間で消滅し (領域全体で零値になる), その漸近形は Emden-Fowler 方程式 (EF) の非自明解として特徴づけられる. 一方, (EF) の非自明解は無数に存在し, 領域の形状によっては関数空間上で連続体をなす. どのような漸近形が摂動に対して安定であるか（どのような漸近形が観測されやすいか）という問題が安定性解析の動機づけとなった.
(1) (EF) の最小エネルギー解の安定性: 円環領域やトーラス領域上では (EF) の最小エネルギー解が 1 パラメータ族をなす. そのため, その安定性解析は一般に困難である. またエネルギー空間では非自明解がエネルギー汎関数の鞍点となるため, 通常の力学系では安定になりえない. 漸近形の安定性解析では相集合がエネルギー空間上の超曲面となり, それが鞍点の不安定次元を 1 つ減らす. ここでは Lojasiewicz-Simon 不等式 (LS) と (FD) の解の有界性評価を改良することで, 領域の形状によらず (EF) の最小エネルギー解全てが (FD) の漸近形として安定になることを証明した.
(2) 一般次元に於ける円環領域上の正値球対称漸近形の不安定性: (1) と同様に孤立性が確約されない円環領域上の正値球対称漸近形は空間 2 次元に限り不安定性が証明されていたが, 3 次元以上に対しては未解決となっていた. ここでは (LS) を (1) とは異なる方法で用い, 空間次元によらず正値球対称漸近形の不安定性を示した. また, 円環の厚みに関する十分条件も定量的に与えた.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初計画に挙げた項目は大方解決しており, おおむね順調に展開していると言える.
当初予定されていた (3) 符号変化する Fast Diffusion 方程式の解の漸近形の収束性 (極限の一意性) に関しても, 自然数冪のケースに於いて Lojasiewicz-Simon 不等式を用いることで肯定的な回答を得ることができる.
また平成 28 年度の研究計画の実施過程に於いて, 最小エネルギーをとる Fast Diffusion 方程式の漸近形の指数安定性 (ただし集積する漸近形は指数安定にはなりえない) 及び Sobolev 臨界指数を伴う Fast Diffusion 方程式の漸近形とその安定性解析が新たに問題として浮上した. これらは今後の研究課題とする. これらの課題も Lojasiewicz-Simon 不等式との関連が深く, 同不等式が Sobolev 臨界指数の場合に成立することの確認や定常点の指数安定性の証明に応用するスキームの開発が重要な役割を果たす.
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| 今後の研究の推進方策 |
平成 29 年度は分数冪ラプラス作用素を含む Cahn-Hilliard 系の解析を行う. 具体的には, (1) 初期値境界値問題の適切性(解の存在, 一意性, 解の初期値に対する連続依存性)の証明, (2) 解の長時間挙動の分析, (3) 分数冪パラメータの極限問題の解析について取り組む. 以下に具体的な研究計画を述べる.
(1) 時間離散化法と変分法を用いた近似解の構成, さらにエネルギー評価による近似解の一様評価, そしてコンパクト埋め込み定理等を用いた近似解の収束と極大単調作用素論に基づく極限の特定を行うことで, 解の構成を行う. ここではコーシー・ディリクレ問題を基本とする.
(2) ここでは主に, オメガ極限集合の存在の証明とそれが 1 つの定常解からなることを証明することを目標とする. その際に Lojasiewicz-Simon 型の不等式を用いたアプローチが有効と考えられるが, 分数冪ラプラシアンに対しては同不等式が示されていない. ここでは分数冪ラプラシアンに対する Lojasiewicz-Simon 型の不等式を証明するところから始める. その際, (有界領域に於ける)分数冪ラプラシアンの(境界付近に於ける)正則性の欠如から困難が生じることに留意する.
(3) 分数冪を表すパラメータの極限問題を考え, 対応する極限問題として現れる分数 Allen-Cahn 方程式や分数冪非線形拡散方程式との関連を調べる.
その他, 平成 28 年度の研究から派生した問題として, 非退化で最小エネルギーをとる Fast Diffusion 方程式に対する解の漸近形の指数安定性についても考え, その成否を見積もった上で, 証明法の開発について取り組む.
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