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本研究の目的は、理論計算機科学の諸問題を解くにあたり、代数的手法の役割を追究することである。具体的には（Ａ）代数的計算量理論に対する新しいアプローチの開発（Ｂ）代数的手法を新たな理論計算機科学の問題に応用すること（Ｃ）代数的計算量理論に基づく計算問題における計算の複雑さの定量化及び分類を目指す。2019年度はこの３本柱に基づき、以下の通り研究を推進した。
（A）特異値分解問題（与えられた行列の特異値分解を近似する問題）に着目した。この問題は数学や計算機科学において極めて重要である。機械学習との関係も知られており、最近は特に注目を集めている代数的問題である。我々は量子計算に触発された新しい技法を開発し、特異値分解問題を求める高速な古典アルゴリズムの構築に成功した。
（B）2018年度に引き続き、代数的な手法を量子分散計算に応用する研究を推進した。まず、分散計算の最も重要なモデルの一つである「CONGEST-CLIQUEモデル」において、通信ネットワークの中核的な問題「全点対最短経路問題」に対して、従来の分散アルゴリズムより高速な量子分散アルゴリズムの構築に成功した。この成果により、CONGEST-CLIQUEモデルにおける量子分散計算の優位性を確立した。また、分散計算の「CONGESTモデル」においては、三角形発見問題を高速に解く新しい量子分散アルゴリズムを構築した。
（C）定数深さ量子回路の計算能力に関する研究を行った。主な成果として、定数深さの量子回路で計算でき、定数深さの古典回路で計算できないような問題の構築が挙げられる。これは、与えられた量子状態を、与えられた基底で測定したときの測定結果を求める問題である。平均入力に対しても、定数深さの古典回路では解けないことを証明した。この成果により、平均入力に対する量子超越性の確立に大きく貢献できたといえる。
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