研究課題
2次元平面Rあるいは円板の外部領域における定常及び非定常Navier-Stokes 方程式の解uを一階偏導関数がq-乗可積分というクラスで考察した．q = 2 の場合，u はよく知られている．Dirichlet 積分有限の解である．我々の領域は非有界領域であるため，q > 2 はDirichlet 積分有限よりも広いクラスの解を対象としている．本研究では，u の渦度ω= rot u の無限遠方の漸近挙動を考察し，指数1/q + 1/q^2の減衰度をえることに成功した．uの偏導関数係数∇uの減衰度に関しては，ωのそれに加えて対数関数分の増大が伴う．応用として渦度が2≦q <∞なるqに関してはq乗可積分であれば，全平面上の定常Navier-Stokes 方程式の解uは定ベクトルに限るというLiouville型定理を証明した．非定常の流れに関しては，定常方程式と同じ値のqに対して，渦度が時空間領域でq乗可積分という解のクラスを請考察し，それが満たすべきLq エネルギー等式を構成した．更にこのクラスにおけるCauchy 問題の解の一意性を証明した．また，負の微分階数を有する尺度不変なBesov 空間に任意に初期値と外力を与え，Navier-Stokes 方程式の時間局所的な強解の存在と一意性を示した．またそれらのデータが十分小さい場合，局所解は時間大域的に延長可能あることを証明した．構成した強解は，通常のLebesgue 空間におけるSerrin のクラスをも含むものである．解の構成方法は，斉次Besov 空間を基礎とし，時間方向にLorentz 空間を採用した線形Stokes 方程式の最大正則性定理に依る．応用として，渦度がDirac 測度や球面に台をもつ一重層ポテンシャル超関数に初期値をもつ解の構成が可能である．特に，除去可能ではない時間に依存して動く特異点を有する解の存在を示すことができた．更に，我々の最大正則性定理とパラメータトリックの手法を組み合わせることで，強解の時空間変数における解析性を証明した．
令和2年度が最終年度であるため、記入しない。
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すべて 雑誌論文 (6件) (うち国際共著 1件、 査読あり 6件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 4件、 招待講演 7件)
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