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離散可積分系についての研究を、多次元格子上の方程式の可積分性判定という観点で行った。用いた主な道具は、代数的エントロピー、Laurent性、互いに素条件である。
1. 前年度の研究の結果、因子の打消しの言葉を用いて方程式を正しく解析するためには、互いに素条件やLaurent性の概念を拡張する必要がありそうだという結果が既に得られていた。そこで本年度は、方程式の特異点の情報を用いて互いに素条件とLaurent性を実際に拡張した。具体的には、方程式から自明に発生してしまう因子を例外扱いすることで、より幅広い方程式が扱えるようになっただけでなく、方程式の座標変換に対しても柔軟に対処ができるようになった。さらに、拡張離散戸田方程式の非線形形式が、拡張されたこれらの性質を満たすことを示した。
2. 線形化可能な2次元格子上の方程式を新たに構成した。行列式を用いて線形化を具体的に与えると同時に、この方程式を因子の打消しという観点からも詳しく調べた。
3. 互いに素条件を満たすいくつかの多次元格子上の方程式を1次元にリダクションし、その性質を詳しく調べた。特に、いくつかのケースについて、因子の打消しを調べることで代数的エントロピーを厳密に求めた。
4. 特異点閉じ込めを通過する方程式について、特異点パターンの情報のみから方程式の代数的エントロピーを計算する手法について研究した。数多くの具体的な方程式でこの手法が有効であることを確認した後、2階の方程式の場合に、代数幾何学的な手法を用いてその意味を明らかにした。
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