| 研究課題/領域番号 |
16J02249
|
|---|
| 研究機関 | 名古屋大学 |
|---|
研究代表者 |
淺井 聡太 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2016-04-22 – 2019-03-31
|
| キーワード | 前射影的多元環 / 煉瓦 / 束 / 標準結び表現 / Coxeter群 |
|---|
| 研究実績の概要 |
まずADE型のメッシュ多元環の導来同値・安定同値分類に関する論文は、商用誌に投稿し、Web上での掲載を果たした。
一方今年度は主に、メッシュ多元環の特別な場合である、A型およびD型の前射影的多元環の煉瓦(brick)や半煉瓦(semibrick)について、研究を行った。先行研究から、Coxeter群から前射影的多元環の半煉瓦全体の集合への全単射が存在する。これを制限して、Coxeter群の結び既約な元と前射影的多元環の煉瓦が一対一に対応することも分かる(Iyama--Reading--Reiten--Thomas)。当該研究員は、Coxeter群の任意の元に対応する半煉瓦を、完全に具体的に表示する手法を確立した。
まず当該研究員は、Coxeter群の結び既約な元の符号付き置換としての表示から、煉瓦をYoung図形のような形で表し、これをさらに簡潔な形で表すことに成功した。その結果、A型の前射影的多元環の煉瓦は、A型の適切な道多元環上の加群と見ることができるのに対し、D型の場合は同様の性質は成立しないことが判明した。
また当該研究員は、半煉瓦に属す各煉瓦を取り出すことが、束としてのCoxeter群における元の標準結び表現に対応することを証明した。束の元の標準結び表現はReadingにより導入された概念で、束の演算の一つである結びに関して最小の生成元をとることをいう。A型のCoxeter群については、Reading自身により標準結び表現が特定されている。当該研究員は、D型のCoxeter群の場合に具体形を決定した。メッシュ多元環の導来同値・安定同値分類の際に培ったCoxeter群に関する技能は、ここでも生かされたと考えている。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ADE型のメッシュ多元環の導来同値・安定同値分類に関する論文を、商用誌で発表することができた。
また計画通り、前射影的多元環の煉瓦や半煉瓦を具体的に特定する手順を確立し、プレプリントの公開や講演などで成果を公表することができた。またこれまで未解明だった、D型のCoxeter群の元の標準結び表現を決定できたことも、重要な結果の一つである。
|
| 今後の研究の推進方策 |
当初予定していた、一般のメッシュ多元環の煉瓦についての研究は、煉瓦が無限個存在するメッシュ多元環が非常に多く、これを特定することは困難だと考えられる。従って、今後これを研究することはあまり有望でないと考えた。
前射影的多元環については、半安定部分圏が定める実数係数グロタンディーク群の部屋構造を用いて、盛んに先行研究が行われている。半安定部分圏は加群圏の部分アーベル圏であるから、その単純対象は半煉瓦である。そこで、当該研究員が得た前射影的多元環の煉瓦や半煉瓦に関する結果をより数値的な側面から解析することで、部屋構造に関する結果をもっと発展させていきたいと考えている。
|
