| 研究課題/領域番号 |
16J05569
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
今野 北斗 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-22 – 2019-03-31
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| キーワード | ゲージ理論 / Seiberg-Witten方程式 / Yang-Mills反自己双対方程式 / 特性類 / 微分同相写像 / 正スカラー曲率 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，以下の内容に関する3本のプレプリントを執筆し公表した：(1) Seiberg-Witten方程式の族を用いたspin^c 閉4次元多様体の不変量の研究，(2) 4次元多様体上の正スカラー曲率を持つ計量の空間のトポロジーのSeiberg-Witten理論による研究，(3) 4次元多様体束に対する特性類のゲージ理論による構成およびその計算．を行った．以下本年度最も進展のあった(3)について述べる．(3)の中心的な研究成果は，4次元多様体をファイバーとするファイバー束に対する特性類を，SO(3)-Yang-Mills反自己双対方程式とSeiberg-Witten方程式を用いて構成し，いくつかの具体例の計算を実行できたことである．この特性類の特徴を列挙すると以下の通りである．
(I) この特性類の構成は，曲面束に対するMumford-Morita-Miller類に代表される，可微分多様体に対する従来の特性類の構成の無限次化とみなすことができる．
(II) 族のゲージ理論の不変量については，既にLi-Liuによる整数値の族のSeiberg-Witten不変量やRubermanによる4次元多様体の自己微分同相写像の不変量があるが，この特性類はこれらの不変量の精密化および一般化を与えている．
(III) 位相的には自明であるが滑らかな範疇では非自明な4次元多様体束をこの特性類は検出できる．
(IV) この特性類は，与えられた4次元多様体束のファイバーごとの連結和に対する障害を与えている．
(V) この特性類は，Le-小野による族のGromov-Witten不変量を用いたシンプレクティックファイブレーションに対する特性類の，ゲージ理論における対応物とみなすことができる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
まず，昨年度中に数学的内容の多くが得られていたとはいえ，族のSeiberg-Witten理論に基づく4次元多様体の不変量と正スカラー曲率計量に関する研究をプレプリントとしてまとめることができた．特に前者は，実現のために多くの技術的困難が生じたが，それを年度の前半で乗り越えることができた．加えて，本年度の中心的な成果であるゲージ理論を用いた特性類の構成は，前年度の時点では具体的にそれを実現する手立てが無いように思われた．しかし結果的には今年度中に，技術的な問題をクリアして構成を実行し，プレプリントとしてまとめることができた．以上は当初の計画を超えた進捗であった．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度構成した特性類の理論を基盤に，族のゲージ理論の考察をより押し進める．具体的には，特性類の計算の具体例を増やすこと，またSeiberg-Witten方程式に基づく特性類については，その安定コホモトピー版（Bauer-Furuta版）を考察することが挙げられる．後者も計算可能な具体例を増やす上で有効であると予想される．加えて，境界付き4次元多様体に対する随伴不等式の研究も，族のSeiberg-Witten理論の別の展開として興味ある問題であり，考察を進めたい．
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