今後の研究の推進方策 |
本年度は、両側 Burnside 多元環の表現とコホモロジー環への作用や、分類空間の安定分解とコホモロジーについて研究を行った。特に、階数が 2 の p-群について両側関手圏の理論が重要であった。また、有限群の表現について、モジュラー表現と p-block の観点から既約加群と共役類の関係について調べてきた。今後の計画は、これら二方向の研究を推し進め、未解決部分の解明を図るとともに、表現論のホモトピー論への応用について研究を進めること、さらに、新たにコホモロジー作用素の手法を用いることである。 まず、階数 2 の両側集合圏を決定する必要がある。位数が p の 3 乗で exponent が p である extra special p-群 E とその両側 Burnside 多元環 A(E,E) を考察する。他の階数 2 の群 P について、両側 Burnside 環の適当な部分剰余多元環 A(P,P) を A(E,E) を用いて構成し、さらに両側 (A(E,E), A(P,P))-加群を用いて A(E,E) と A(P,P) 間の関手を構成する。このようにして具体的に両側関手圏の一部を構築し、それらを用いて階数 2 の p-群の両側 Burnside 多元環とそのコホモロジーへの作用、分類空間の状況などを統一的にとらえることを目指したい。それらの構成を通して、抽象的な階数 2 の p-両側関手圏の構成を考察し、さらに、階数が 3 以上のp-群、特に extra special p-群の両側 Burnside 多元環についての研究を試みる。また、これまでの研究で適用することができなかったコホモロジー作用素の応用も目指す予定である。 有限群の表現論については、p-block の理論の上記研究への応用を試みるとともに、p-群の共役類に関する考察を進める予定である。
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