表現論の観点から見た有限群のコホモロジー論

2018 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05054
• 研究機関: 埼玉大学
• 研究代表者: 飛田 明彦 埼玉大学, 教育学部, 教授 (50272274)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 有限群 / コホモロジー / モジュラー表現論 / 両側Burnside環 / 分類空間

研究実績の概要

本研究の目的は、代数的位相幾何学的側面から分類空間のホモトピー論、代数的な側面から有限群の構造と性質、表現論的な側面から有限群の表現論、の3者の関係について、主に表現論の立場から詳しく調べることである。分類空間のホモトピー論の観点からは、有限群の分類空間の安定分解を研究対象とし、有限群の構造の観点からは、素数 p に対する p-局所構造つまり p-部分群とその共役関係そして fusion system を研究対象としている。また、表現論の観点からは、有限群の表現論および有限次元多元環の表現論、そして関手圏の理論が主たる研究対象となる。
p-完備化された分類空間の安定分解は、有限群の両側 Brunside 環における単位元の冪等元分解と対応し、これを通して有限群や多元環の表現論と結びついている。また有限群のp-局所構造は Sylow p-部分群上の fusion system を通して得られるが、有限群のfusion system は有限群の両側 Burnside 環の特別な元で特徴づけられることが知られており、これを通して群の p-局所構造は両側 Burnside 環の表現論と結びついている。
過去の研究と本年度の研究では、（１）両側 Burnside 環の一般化として両側集合関手の理論を展開しp-群のホモトピー安定分解に応用すること、（２）有限群の表現論の研究を行い、特に既約加群についての情報を得ること、の２点に焦点をあてて研究を行ってきた。（１）については、階数が２の p-群の mod pコホモロジーを考察し両側 Burnside 環の作用の解析を行い、階数２の p-両側集合圏の構造について研究を行った。（２）については既約表現の次数や共役類の関係について、モジュラー表現と p-ブロックの理論の観点から研究を行った。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究の目的は、有限群のコホモロジーや表現論の研究を通して、有限群の分類空間のホモトピー論的な性質について考察することである。両者の間を結びつける対象として、有限群の両側 Burnside 多元環と両側関手の理論を考察し研究を行っている。両側 Burnside 多元環や両側関手は、有限群の部分群間の準同型写像の情報を含み、群の構造と密接な関わりを持つ。さらに、これらは分類空間の安定分解の情報も含んでいるものである。
奇素数 p に対して、階数 2 の p-群のコホモロジーと分類空間の安定分解について研究を行い、かなりの部分がこれまでの研究で明らかになった。しかし、p が 2と 3 の場合に一部未解明な場合が残っており今年度も未解決であった。これらの解析の本質的な解明のために、階数 2 の p-両側関手圏の考察を行ってきた。位数が p の 3 乗で exponent が p である extra special p-群 E を考え、E が他の階数 2 の群の場合も支配しているであろうという予測のもとに、 E の両側 Burnside 環の構造と表現を詳しく調べ、さまざまな両側加群を考察することで、階数 2 の p-両側関手圏の構造を調べてきたが、完全な理論構成は適わなかった。
有限群の表現論については、昨年度に引き続き、既約表現と共役類の関係について考察を行った。特にモジュラー表現と p-block の観点から研究を行い、下位不足群、 Cartan 行列、vertex などとの関連について解明が進み、p-block の fusion system との関係性も現れこの点では順調に進捗している。一方、これら表現論的な考察の上記のホモトピー論への応用は不十分であり、今後の研究が必要と考えられる。

今後の研究の推進方策

本年度は、両側 Burnside 多元環の表現とコホモロジー環への作用や、分類空間の安定分解とコホモロジーについて研究を行った。特に、階数が 2 の p-群について両側関手圏の理論が重要であった。また、有限群の表現について、モジュラー表現と p-block の観点から既約加群と共役類の関係について調べてきた。今後の計画は、これら二方向の研究を推し進め、未解決部分の解明を図るとともに、表現論のホモトピー論への応用について研究を進めること、さらに、新たにコホモロジー作用素の手法を用いることである。
まず、階数 2 の両側集合圏を決定する必要がある。位数が p の 3 乗で exponent が p である extra special p-群 E とその両側 Burnside 多元環 A(E,E) を考察する。他の階数 2 の群 P について、両側 Burnside 環の適当な部分剰余多元環 A(P,P) を A(E,E) を用いて構成し、さらに両側 (A(E,E), A(P,P))-加群を用いて A(E,E) と A(P,P) 間の関手を構成する。このようにして具体的に両側関手圏の一部を構築し、それらを用いて階数 2 の p-群の両側 Burnside 多元環とそのコホモロジーへの作用、分類空間の状況などを統一的にとらえることを目指したい。それらの構成を通して、抽象的な階数 2 の p-両側関手圏の構成を考察し、さらに、階数が 3 以上のp-群、特に extra special p-群の両側 Burnside 多元環についての研究を試みる。また、これまでの研究で適用することができなかったコホモロジー作用素の応用も目指す予定である。
有限群の表現論については、p-block の理論の上記研究への応用を試みるとともに、p-群の共役類に関する考察を進める予定である。

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた主な理由は、2018年度に研究代表者として実施した研究集会「有限群のコホモロジー論とその周辺」の講演者旅費について、研究所からの旅費が十分であったため本研究費での旅費の使用が少なくなったことである。本研究はいくつかの分野にまたがる考察が必要となるため、未だ情報収集に不十分な点がある。次年度の使用計画としては、各種研究集会への参加や図書の購入等の情報収集に使用する予定である。

研究成果

• [雑誌論文] Harada's conjecture on character degrees and class sizes --- symmetric and alternating groups --- (2018)
  • 著者名/発表者名: 飛田明彦
  • 雑誌名: 数理解析研究所講究録 巻: 2086 ページ: 144-153
  • オープンアクセス
• [学会発表] Character degrees and class lengths in p-blocks of some finite groups (2019)
  • 著者名/発表者名: 飛田明彦 清田正夫
  • 学会等名: RIMS 共同研究（公開型）「有限群のコホモロジー論とその周辺」
• [学会発表] Character degree products and class length products of some finite groups (2018)
  • 著者名/発表者名: 飛田明彦 清田正夫
  • 学会等名: RIMS共同研究 (公開型) 「代数的組合せ論と関連する群と代数の研究」
  • 招待講演