| 研究実績の概要 |
ネーター問題は、有限群Gが体k上の|G|変数有理関数体に変数の置換として作用するとき、その不変体k(G)はk上有理的（すなわち純超越的）かという問題である。
kが複素数体Cのときは、不分岐コホモロジーH_{nr}^i(C(G),Q/Z)が非自明な場合は有理性問題不成立なことが言える。有限群Gが与えられたとき、三次不分岐コホモロージーH_{nr}^3(C(G),Q/Z)が自明でない場合にH_{nr}^3(C(G),Q/Z)
全体を具体的に計算した例は知られていなかった。
Peyreの方法を工夫改良して計算機で計算できる形にすることにより、|G|=3^5,5^5,7^5の群に対してH_{nr}^3(C(G),Q/Z)を具体的に計算した。|G|=3^5 のときは H_{nr}^3(C(G)) が非自明になるのは isoclinism family 7 の場合だけであるが、|G|=p^5 (p=5,7)のときは、非自明になる isoclinism family は 6,7,10 の３つもあることが分かった。ちなみにこのときH_{nr}^3(C(G),Q/Z)=Z/pZである。|G|=3^5の場合については、k=Cのときこれでstably rationalかどうか完全に解決したことになる。isoclinism family 7,10のとき以外すべてstably rationalである。今までisoclinism afmily 7のときは未解決であった。
pを３以上の素数とするとき、p次(すなわちp-1次元)ノルム１トーラスのとき、いつstably rationalになるかを調べた。G=C_p,D_p,A_5のときはstably rationalになることがすでに知られているので、それ以外の時にどうなっているかを考える。G=PSL(2,F_{2^e})でp=2^e+1>=17のときは解決できなかったが、それ以外の場合はすべてstably rationalでないことを示した。
|
