| 研究実績の概要 |
本研究課題では, 行列と超幾何級数に関連した３項目「Aztec rectangle の数え上げ問題の拡張と解明, 及び超幾何級数を成分に持つ行列式の解析」「矩形行列式, Hankel 型行列式, Hankel 型 pfaffian に関する等式の拡張と応用」「leaf poset の組合せ論的特徴付けと拡張及び一般化」について代数的組合せ論の観点から, 広く横断的な研究を行うことを目的とした研究を行い, 今年度は主として次の結果を得た。
・Dyck path の一部に重みを付けたカタラン数の z-analogue を行い, Hankel 型行列式が 2F1 の超幾何級数を用いて記載できることを証明した。系としてカタラン数の Hankel 型行列式を一般に記載する有名な等式の別表示と別証明が得られた。さらに, 超幾何級数 4F3 に関する新しい隣接関係式等が多数得られた
・leaf poset が multivariable hook length poset であることは, d-complete poset が multivariable hook length poset であることに帰着される。この証明の再検討を行った結果, leaf poset のパーツとして同一の strict partition に対して, ある条件を満たす変形を共通に行っても multivariable hook poset になることが分かった。
・ハノイの塔においてプレートの持ち上げる高さに制限を加えた数え上げ問題は「カエルのハノイの塔」として知られている。和歌山大学教育学部において共同研究を行い,その一般項を「フィボナッチ数列の一般項とよく似た形」および「3F2 の超幾何級数」で表した。また, 系として超幾何級数 3F2 の３項間関係式がみつかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに得られた結果をもとに, さらに研究を進展させる。具体的には次となる。
・Aztec rectangle, Schroder path, 超幾何級数, ｑ超幾何級数に関連した予想式の証明及び新しい等式の発掘と拡張。
・矩形行列式, Hankel 型行列式, leaf poset への応用と拡張。
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