| 研究課題/領域番号 |
16K05066
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
千吉良 直紀 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40292073)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 有限単純群 / 格子 / 符号 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、置換群の部分群の固定点の集合、行列群の部分群の固定部分空間を用いた群の構造の研究、群の性質を反映する格子の研究、群の作用する可換代数構造の研究を通して群の性質の研究を行っている。本年度は、以下のような結果を得た。
１．散在型単純群Ruの作用する長さ4060の2元体上の自己双対符号が3つ存在する。その符号の生成系はホフマン・シングルトングラフを用いて記述できることを前年度までに得ている。本年度では、さらにその生成系の記述を精査し、わかりやすく記述した。
２．散在型単純群M12の作用する45次元の可換非結合代数について、これまでに積構造については、位数2の元から得られるべき等元となるベクトルを用いて記述できることが分かっている。その際、M12の作用を記述する上でM12が作用する格子が重要な役割を果たしている。この結果をもとに部分代数の構造を調べた。その結果、どの2元の積も０となる特別な極大な3次元の部分代数があることが分かった。また、その3次元の部分代数と1次元を共有する3次元の部分代数が存在することが分かった。この部分代数は4次対称群が自己同型群として作用する可換代数で、よく知られている重要な可換代数である。これらの異なるいくつかの部分代数をもとにして45次元の代数の基底を構成できることが分かった。これは代数構造を調べる上で重要な役割を果たすものであり、全体の自己同型群を調べる上でも重要な手掛かりとなるものであると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
M12の作用する可換代数構造について重要と思われるいくつかの成果を得ている。それをもとに研究討論等を行い更に進展させる予定であった。しかしながら、専門家との十分な研究討論を行うことが出来なかったため、やや遅れている。研究成果は着実に得られており、概要にも述べたようにいくつかの重要な部分代数も得られている。これをもとに研究を進めればまとまった良い結果が得られると思われる。また、M12の結果をもとにその他の群が作用する可換代数構造についても部分代数構造等をよく見ることでさらに研究が進むと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
M12の作用する45次元の可換非結合代数について、いくつかの特別な部分代数があり、それらが代数構造を記述する上で重要な役割を果たすことが分かってきた。特別な部分構造から自然に構成できる基底をさらに詳しく調べる、あるいは場合によっては基底をうまく取り替えることで、代数構造をわかりやすく記述する。また、代数の中のべき等元をうまく記述し、べき等元から自己同型を記述する。この方法で自己同型群を詳しく調べる。
また、これらの方法を他の群が作用する代数構造に応用し、個々の代数を調べると同時に共通に成り立つ性質などについても考察を行う。
さらには関連する組合せ構造等との関連も考え、組合せ構造と群の関係についても考察を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた研究打ち合わせのための出張がいくつか出来ず、研究遂行に遅れが出た。そのため、研究機関を延長した。これまでに得られている研究成果を発展させるため、研究打ち合わせおよび研究討論を行い、研究成果をまとめる。
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