| 研究課題/領域番号 |
16K05067
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (60381141)
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| 研究分担者 |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Cayley-Hamilton定理 / Pfaffian / 行列式 / 不変式論 / Schur多項式 / 1の原始冪根 / マトロイド |
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| 研究実績の概要 |
高階のCayley-Hamilton型定理が生成元の関係式を記述する不変式論について、とくにPfaffian版のCayley-Hamilton定理の高階版が関わるものについて整理した。同じようなタイプの不変式論で、行列式とPfaffianの融合が登場する高階のCayley-Hamilton型定理が登場するものもあり、この不変式論についても考察した。
また昨年度に日高昌樹氏と共同で得たSchur多項式の特殊値に関する結果について、証明の核心部分とマトロイドの一般論との関係が明瞭になった。グラフ的マトロイドや補グラフ的マトロイドは正則マトロイドであり、正則マトロイドがユニモジュラー系で実現できることはよく知られている。我々の証明は、あるベクトルの集合がユニモジュラー系であることが鍵であった。このベクトルの集合がマトロイドとしてあるユニモジュラー系と同型であることは上述の一般論からわかるが、このベクトルの集合そのものがユニモジュラー系であるというより強い主張が証明の核心だったことになる。このような一般論との位置関係を整理した上で、この結果について学術論文としてまとめているところである。
また下吉仁平氏と共同で、行列式の冪の展開係数についての研究を行った。指数が素数pを用いてp-1と表されるときに行列式の冪の展開係数に0が含まれないことはD. G. Glynnによって示されていたが、行列のサイズが3以上の場合には、この逆も成立することがわかった。証明は初等的だが、予想外の結果で興味深い。これも学術論文としてまとめた。
このような不変式の特殊化について、予想外の興味深い結果が得られたのが大きな成果である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
日高氏と共同研究で得たSchur多項式の特殊値に関する結果についてマトロイドの一般論との関係の理解が進んだ。また下吉氏との共同研究で、行列式の冪の展開係数について新たな結果を得た。このような不変式の特殊化について想定外の進展があった。
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| 今後の研究の推進方策 |
行列式とPfaffianの融合が登場する高階のCayley-Hamilton型定理が記述する不変式論について、研究を進めたい。Schur多項式の特殊値に関する研究や行列式の冪の展開係数に関する研究については、表現論との関係を探りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
スケジュールが合わなかったり新型コロナウイルスの影響があったりして、予定していた出張を取りやめた。2020年度は海外からの招聘を予定している。
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