| 研究実績の概要 |
Glynnが導入した超行列式（hyperdeterminant）や行列式の冪について研究を進めた. 話題の中心となるのは, 指数が素数pを用いてp-1と表されるときの行列式の冪の展開公式である. これは超行列式と通常の行列式を結びつける等式でもあり, またAlon-Tarsi予想の特別な場合の解決を与えるという点でも興味深い. この関係式については, 昨年度に偏極作用素を用いた不変式論的な新証明を得たが, 今年度はこの証明を一般化することで超行列式の特徴づけが得られた.
これらの結果は, 非可換な側面は比較的小さいが, 本研究課題のテーマである微分と連動した母函数論の成果と言える. 当初の計画の想定とは少々異なる方向で興味深い進展があったということになる.
また, 岩政健太朗氏と共同で, 多重可移置換群におけるderangement（固定点を持たない置換）の割合について研究した. よく知られた事実として, 対称群においてderangementの割合は自然対数の底の逆数に近いということがある. この現象が実は多重可移置換群で一般になりたつことであるとわかった. つまりt重可移置換群に対してこの近似の精度をtで評価できるのである. 鋭多重可移置換群に対しては1993年のN. Bostonらによる論文でderangementの割合を計算する等式が与えられており, 今回の結果は証明まで含めてこれに似ている. しかし今回の結果は, 鋭多重可移とはかぎらないより広い置換群が対象であり, また上下からの評価という観点も新しい.
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