| 研究実績の概要 |
本研究は，実簡約型 Lie 群 G の標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を解析することを主目的としている．
平成30年度には，G が split 群であるときの標準 Whittaker (g,K)-加群の自己双対性予想に関する研究を行った．
前年度までの研究で，標準 Whittaker (g,K)-加群は，固定した無限小指標 Λ を持ち，長さが有限であるような (g,K)-加群の圏における入射加群であることを使うことによって，その組成因子がわかっていた．今年度の研究では，この「標準 Whittaker (g,K)-加群の入射性」を使うことによって，G が split 群のとき，標準 Whittaker (g,K)-加群の既約商加群の中には大きな表現が含まれることを示した．もしこれがただ一つの既約商加群であれば，自己双対性予想が正しいことが容易に示されるが，今年度の研究ではそこまでには至らなかった．
一方，今年度は，確定特異点型偏微分方程式系の境界値問題を用いた標準 Whittaker (g,K)-加群の構造解析も行った．具体的には，SL(3,R) などの階数の低い群の場合を例として，境界値写像を与えるような解の基本系を具体的に構成し，境界値を用いて非退化不変双一次形式が存在するための条件を探った．このような具体例に関する計算の結果，一般の高階数の群の場合についても，確定特異点型偏微分方程式系の解の基本系の構成に，Verma 加群の間の準同形写像の存在やその具体形が深く関わっているのではないか，という考察を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の当初の計画では，確定特異点型偏微分方程式系の部分境界値を考え，実階数2への還元を行うことによって標準 Whittaker (g,K)-加群の構造を解析する予定であった．一方，昨年度までの研究により，確定特異点型偏微分方程式系の境界値を直接使うことによって，split 群の場合には標準 Whittaker (g,K)-加群の間の非退化不変双一次形式が構成できる可能性があるという考察を得た．現在はこの方針で研究を継続している．
また，一昨年度までの研究で，split 群の場合については，標準 Whittaker (g,K)-加群の組成因子問題が主系列表現のそれに帰着できることがわかった．また，この加群をtranslation functor で動かしたときの振る舞いもわかっている．
このように，本研究の主題である，標準 Whittaker (g,K)-加群の構造解析に向けて，具体的な道筋が見えてきたことから，本研究は概ね順調に進展していると考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
群が split な場合，標準 Whittaker (g,K)-加群には自己双対的な構造があるとの予想を肯定的に解決することが，本研究の主目的，つまり標準 Whittaker (g,K)-加群の構造決定に大きな役割を果たす．本研究の過程において，確定特異点型偏微分方程式系の境界値を使うことにより，標準 Whittaker (g,K)-加群の間の非退化不変双一次形式を構成できるであろう，という感触を得，現在はそれに取り組んでいる．
そのための具体的な方法として，Verma 加群の間の準同形写像に関する知見を使うのがよいと考えている．詳しく言うと以下のようになる．Goodman-Wallach は Verma 加群を完備化した加群における Whittaker ベクトルを使うことで，主系列表現の Whittaker 模型を詳しく調べた．この Whittaker ベクトルの極における留数を調べることで，無限小指標が integral なときの確定特異点型偏微分方程式系の境界値を正確に記述することができ，その結果非退化不変双一次形式が構成できると考えている．
今後，このような方針で双対性予想の証明に取り組む．
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