| 研究実績の概要 |
本報告者は逆Mellin変換されたモジュラー群上のPoincare級数のFourier級数の内部に新種のゼータ関数(J-Besselゼータ関数)を見出し,Hankel路積分表示,解析接続,変換公式,Riemannゼータ関数の母関数表示等の基本性質を証明していた。さらに類似の手法を用いて,合流型超幾何型ゼータ関数についても積分表示等の同様の性質を得ていた。さらに,これらのゼータ関数と,桂田昌紀氏(1997年)によって定義されていた超幾何関数型のゼータ母関数との間に成り立つ関数関係式(Hurwitzゼータ型関数等式)を示した。上記のJ-Besselゼータ関数について非正整数点における特殊値を,Bernoulli数を用いた級数表示で与えている。
正則Poincare級数を一重和に分解して現れるHurwitz－変形Lerch型ゼータ関数に対し,Hankel路積分表示を与え,解析接続,Hurwitzゼータ型の関数等式,Riemannゼータ関数の母関数表示等の基本性質を証明し報告した。応用としてPoincare級数のFourier級数展開,および指数関数型Riemannゼータ母関数に対するVoronoi型和公式の新しい証明が従う。本年度は,非正則Poincare級数についても同様な考察を行い,ある種の非正則Poincare級数を一重和に分解して現れるHurwitz－変形Lerch型ゼータ関数についてFourier級数展開とみなせる積分表示を与えた。証明においては上記昨年度までに得られた結果と同様に,各項の適切な逆Laplace変換表示からスタートする。ただし級数の処理は単純ではなく我々の場合についてテータ変換公式を用いている。
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