| 研究成果の概要 |
２つの元をかけて1を加えたものが平方数になるような異なるm個の正整数からなる集合をディオファンタスのm組という．本研究では，任意のディオファンタスの4組は正則であるという未解決予想を支持するいくつかの結果を得た．例えば，ディオファンタスの3組{a,b,c}(a<b<c)に対し{a,b,c,d}(c<d)が正則でないディオファンタスの4組となるdは高々7個しかないことを示した．ディオファンタスの4組は楕円曲線とよばれる群構造をもつ曲線と密接に関係しているが，本研究ではある楕円曲線の族について，整数点（座標が整数である点）や群としての生成元についても具体的に調べた．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
任意のディオファンタスの4組は正則であると予想されており，様々な傍証はあるが，一般には正則でないディオファンタスの4組の有限性さえ示されていない．ディオファンタスの3組{a,b,c}(a<b<c)を固定してはいるが，{a,b,c,d}(c<d)が正則でないディオファンタスの4組であるようなdの個数の具体的な上限が得られた意義は大きい．一般に，与えられた１つの楕円曲線の整数点や群としての生成元を求めることは困難である．ここでは例えば u＾2-v＾4=m (mは0でない整数）で定義される楕円曲線の族について，階数が1または2の場合に整数点や生成元を具体的に決定した．
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