| 研究実績の概要 |
引き続き，$p$進体上のdivision quaternion$D$上のエルミート形式の空間$X$の研究を主に進めた．この空間に作用している群は$D$上の一般線形群$GL_n(D)$なので，これ自体の球関数は，佐武一郎氏の結果までさかのぼれて，Hall-Littlewood対称多項式(最も標準的なMacdonald対称多項式)によって記述されている．このquaternionエルミート形式の空間$X$についても，行列サイズが小さい空間上の球関数と関係式を与えられるので，$p$進体上のエルミート形式や対称形式などと同様に，球関数を局所密度の生成関数としてとらえらることができる．
球関数は空間のカルタン分解の代表元の値で決まり，明示式は，特定の点での球関数と対称多項式(サイズ$n$ならば$n$変数多項式)の積となる．後者が明示式の主要項で，新たなMacdonald対称多項式が現れる．この主要項を核関数とする球フーリエ変換で，$X$上の$K=GL_n(O_D)$-不変な急減少関数の空間$S(K \backslash X)$は，$n$変数対称ローラン多項式環の中に移される．サイズ 1,2のときは全射となる．サイズ 3,4のときには，像は真のイデアルで，その2個からなる生成元を与え，引き戻して，$S(K\backslash X)$のヘッケ環加群としての生成元を与え，さらに球関数のparametrizationもできた．生成元の計算には 計算ソフトMacaulay2が有益であったが，より大きなサイズではうまく機能しないようである．一般のサイズの場合の生成元と球関数のparametrizationに関しては，予想にとどまる．
サイズ2のときには，連携研究者 小森靖氏の協力により，$S(K\backslash X)$の Plancherel公式ができた．
|
