| 研究実績の概要 |
複素数体上のコンパクトと限らないsmoothな代数多様体に対し，その混合Hodge構造を与える対象として，Deligneは混合Hodge複体の概念を与え，さらにBeilinsonはそれをチェインレベルで考察し，Hodge複体の概念を与えた(後者の方が詳しい情報を持った対象である）．両者の違いは，導来圏の対象を与えることと，複体を与えることとの相違に似ている. Hodge複体は, Q上のベクトル空間の複体， C上のベクトル空間の複体, およびそれらの間の擬同型からなる．Beilinsonによると，smoothな代数多様体Xに対し，Hodge複体K(X)が対応し，それはXの混合Hodge構造を計算する．この構成は抽象的な層の理論に基づいたものであり，関手性などの性質を満たしているが，実際に用いるのには都合が悪い場合がある.
本課題研究においては，より明示的なHodge複体を構成した．すなわち，smoothな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対してHodge複体E(X, H)であって，次の二つの性質を満たすものが構成できる．(a) E(X, H)の「Q-部分」は，X上の位相的なチェインのなす複体であり，(b) E(X, H)の「C-部分」は，Hに対数的極を持つX上の微分形式の複体を用いて記述される．
なお，Xがコンパクトの場合，あるいはHが空の場合は，E(X, H)の構成に困難はない．一般の場合のE(X, H)の構成には，(Cauchyの積分公式を高次元のチェインに拡張した)Cauchy-Stokes formulaが取り込まれている．この研究により，混合TateモティーフのHodge実現の構成におけるCauchy公式の意味が明確になった．
|
