| 研究実績の概要 |
明示的なHodge複体の構成 複素数体上のコンパクトと限らないスムースな代数多様体に対し，その混合Hodge構造を与える対象として，Deligneは混合Hodge複体の概念を与え，さらにBeilinsonはそれをチェインレベルで考察し，Hodge複体の概念を与えた; Hodge複体Kは複体の３つ組とそれらに間の比較擬同型からなる．Beilinsonによると，スムースな代数多様体Xに対し，Hodge複体K(X)が対応し，それはXの混合Hodge構造を計算する．この構成は抽象的な層の理論に基づいたものであり, 実際に用いるのには都合が悪い場合がある．これについてHodge複体の上記とは別の次の構成を行った．スムースな代数多様体Xと正規交叉因子Hに対し, Hodge複体E(X, H)であって，次の性質を満たすものを構成した．(a)E(X,H)はコホモロジーH*(X, H)を与える．(b) E(X, H)をなす3つ組のひとつE_Qは，X上の位相的なチェインのなす複体, H上の位相的なチェインのなす複体, その間の制限写像を用いて構成される．(c)E(X, H)をなす三つ組のひとつE'_Cは, Hに対数的極を持つX上の微分形式の複体を考え，その双対複体として得られる．また，もう一つの複体E_Cは微分形式の複体の間の制限写像A(X)->A(H)の錐複体である．(d) E_QとE'_C$の間の比較擬同型の構成は，Cauchy-Stokes公式を必要とする．この公は，n次元複素アフィン空間の実半代数的集合で座標超平面と横断的に交わるものと，座標平面に対数的極をもつm次微分形式が与えられたとき, その積分のみたす公式であり，古典的なCauchy公式と，Stokes公式を特殊な場合として含む．(微分形式が閉の場合は，この公式は木村健一郎氏，寺杣氏との研究により示されていた.)
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