| 研究課題/領域番号 |
16K05090
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高木 寛通 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (30322150)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Q-Fano 3-fold / 種数 / General elephant |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、prime Q-Fano 3-foldの種数評価について主に研究した。Q-Fano 3-fold Xに対して、反標準線形系の次元-1のことを種数という。非特異なprime Fano 3-foldについては、種数が2から12までの整数で11でないということが、古典的事実と知られており、いくつかの証明がある。他方、non-Gorenstein prime Q-Fano 3-foldの場合は、当該研究者と佐野太郎氏の結果を合わせることで、反標準線形系がDu Val特異点のみ持つK3曲面(General elephant, 以下GEと略）を含むならば、種数が-2から8の整数となることが分かっていた。反標準線形系がGEを含まない場合については、Alexeevにより、prime Q-Fano 3-foldが非自明な双有理写像を持つことが示されていた。本年度は、この双有理写像を利用して、反標準線形系がGEを含まない場合に種数が19以下であることを示した。また、その双有理写像が一部の例外でない場合には、種数が6以下になるというかなり良い評価も得た。この結果と以前に得られていたGEがある場合のprime Q-Fano 3-foldの種数評価を合わせると、例外的な場合を除き、種数が7，8であればGEが存在するということも導かれる。また、この研究の過程で得られる双有理写像を用いて、prime Q-Fano 3-foldの新しい例をいくつか構成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で述べたAlexeevの結果の応用としては、primeでないQ-Fano 3-foldの種数・次数評価に対するProkhorovの研究があったが、primeの場合への応用は当該研究者によって初めてなされた。しかも例外的な場合を除けば、種数が6以下になるというよい評価も得られた。この結果と以前に得られていたGEがある場合のprime Q-Fano 3-foldの種数評価により、例外的な場合を除き、種数が7，8であればGEが存在するということが導かれる。これは、種数がある程度大きいprime Q-Fano 3-foldがGEを持つという重要な予想（ReidによるGeneral elephant conjectureとしてよく知られている）の特別な場合の解答を与えている。また、使われた双有理変換は、Q-Fano 3-foldの新しい例の構成にも利用できることも分かった。以上述べたように、prime Q-Fano 3-foldの分類を順調に進展させることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
GEを持たないprime Q-Fano 3-foldの研究をさらに精密化し、上記の例外的な場合の種数評価を改善し、この場合にも種数が8以下であることを証明する。また、さらに種数が6以下というよりよい評価を得ることにより、種数が7，8であればprime Q-Fano 3-foldはGEを持つということを無条件に証明する。GEを持つprime Q-Fano 3-foldについては、K3曲面の幾何を利用し、prime Q-Fano 3-foldのよい双有理写像を構成して、その双正則的分類を推し進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた出張旅費を先方負担で賄ったため。また、予定していたノートパソコンの購入を次年度に見送ったため。
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