| 研究実績の概要 |
前年度までの研究において，奇標数の 5次 del Pezzo 曲面の上のある Frobenius 直像について予想を立てたが，本年度においては，この予想を証明した．得られた結果は以下の通りである．
定理. X を奇標数 p の代数閉体上の非特異 5次 del Pezzo 曲面とし，X の反標準直線束を L ＝ O_X(－K_X) とする．非負整数 i, e について，i ≦ q ＝ (p^e－1)/2 が成り立つとき，L^i ＝ O_X(－iK_X) の e次 Frobenius 直像 (F^e)_*(L^i) について，次が成り立つ．
(1) (F^e)_*(L^i) は階数 dim H^0(X,L^i) ＝ 5i(i+1)/2+1 の自由層を直和因子にもつ．
(2) i＝(p^e－1)/2 のとき，(F^e)_*(L^i) は，階数 (5q^2+3)/8 の自由層と，(q^2－1)/8個の階数 3 の直既約ベクトル束 E_{1,1,1/2} の直和に分解する．ここに，E_{1,1,1/2} は，直既約性とある開集合上の分裂条件から唯一つに決定される階数 3 の自己双対的ベクトル束である．
この定理の証明においては，二項係数の 4重積の和を成分とするある (q^2－1)/8 次正方行列が法 p の下で正則であることを示す必要があり，この「初等的」な部分が難所となっていたが，整数値多項式を用いた議論によりこれを解決することができた．応用として，奇標数の非特異 5次 del Pezzo 曲面の反標準環 R＝R(X,－K_X) の F-符号数（F-signature）が，5/24 であることを示した．
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