| 研究課題/領域番号 |
16K05096
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| 研究機関 | 福井大学 |
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研究代表者 |
小野田 信春 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (40169347)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 国際研究者交流 / インド / アフィン代数幾何学 / 可換環論 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は研究課題に関連して、主としてべき等元で生成される環について研究した。具体的には、商体 K をもつ整域 R 上の可換代数 A について次の定理を証明した。ただし、S=R＼{0} とする。
定理 A は R-加群として捻じれ元をもたないとし、さらに次の3条件を満たすとする。(i) A は R 上べき等元で生成される。(ii) A は原始べき等元をもたない。(iii) S^{-1}A は K 上可算無限次元である。このとき、このような A はR-同型を除いて一意的に決まる。
この定理は、R が体の場合に知られていた結果の一般化である。この定理を補強するため、定理の条件を満たす A の具体例を次のようにして構成した。P を R の可算無限個の直積とする。c が P の元のとき、c(i) で c の第 i 成分を表すものとして、正整数 n に対し P の元 v_n を「v_n(i) は i≡1(mod n) のとき 1、そうでないときは 0」により定める。この v_n を用いて、P の部分環 R_v を R_v = Rv_1 + Rv_2 + … により定義すると、R_v は定理の3条件を満たすことが示せる。従って、次が成り立つ。
定理 A は R-加群として捻じれ元をもたないとし、さらに次の3条件を満たすとする。(i) A は R 上べき等元で生成される。(ii) A は原始べき等元をもたない。(iii) S^{-1}A は K 上可算無限次元である。このとき、A は R-代数として R_v と同型である。
べき等元で生成される環については、その他にも原始べき等元を有限個もつ場合等についても考察し、いくつかの結果を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の本来の目的は正則局所環上の A^n-fibration の構造解明であり、そのための方策として、2次元正則局所環上のA^2-fibration の構造からはじめ、離散付値環上の A^n-fibration の研究へと進展していく予定であった。しかし、実際に研究してみると、極めて難しい問題で、予期通りの結果は残念ながら満足する形では得られていない。しかし、論文にまとめるほどではないにせよ、少しずつではあっても成果は出ており、その意味では研究は進んでいる。さらに、今年度は、研究課題に関連して、べき等元で生成される環について新たな定理を証明することができた。これは想定外ではあるが、望外の成果であり、その点は満足している。
現在までの状況は以上の通りであるが、全体を総合的にみて、おおむね順調に進展していると判断できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は最終年度であり、課題解決に向けて最大限の努力を傾注する。具体的には、2次元正則局所環上のA^2-fibration の構造解明を完成させ、さらに離散付値環上の A^n-fibration の研究を進める。合わせて、今年度も課題として取り上げた、体 K 上の付値環 V と K 上の代数関数体 L の付値環 W で V の拡大となっているものについて、W の剰余体の V の剰余体上の代数関数体としての構造解明にも取り組み、さらに本来の研究目的の一つである「全射問題」の研究を進展させる。これらは、相互に関連しており、独立的にではなく全体を統一的に考察して解決を目指す。以上の目的とともに、今年度成果を得たべき等元で生成される環についても考察を進めて新たな展開を図る。
これらの研究を遂行させるために、海外共同研究者との連絡を密にするとともに、海外共同研究者のもとに出張して共同研究を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）
本研究には海外共同研究者が3名いて、海外共同研究者のもとに出張して研究を行う計画を立てていたが、年度内に双方の都合の合う日程が見つからず、予定していた海外出張ができなかった。また、購入を予定していたパーソナルコンピュータ－について、予定を変更して来年度に購入することとした。以上の理由から次年度使用額が生じた。
（使用計画）
今年度計画していた海外共同研究者のもとへの出張を次年度行うこととし、また、パーソナルコンピューターも次年度に購入する。未使用額はそれらの経費に充てる。
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