| 研究課題/領域番号 |
16K05101
|
|---|
| 研究機関 | 日本大学 |
|---|
研究代表者 |
渡邉 健太 日本大学, 理工学部, 助教 (70582683)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| キーワード | 安定 ACM 束 / Lazarsfeld-Mukai 束 / Mercat 予想 / Weierstrass 半群 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究の目的は大きく分けて二つある。一つ目はこれまでに行ってきた K3 曲面上の ACM 直線束の分類結果を用いて、与えられたチャーン類を持つ安定 ACM 束の構成に関する研究を行うことであった。本研究では与えられた種数 g とゴナリティ d を持つ曲線のクラスを一次チャーン類に持つ階数 2 の Lazarsfeld-Mukai 束をピカール数 2 の K3 曲面上で構成した。また、階数 2 の Lazarsfeld-Mukai 束が一次チャーン類に関して ACM であることに着目し、そのようなベクトル束が 2 つの直線束の拡張で得られる為の必要十分条件を d=g と d=g-1 である限られた場合に記述した。一方、そのように構成される階数 2 の ACM 束が安定束になる為の必要十分条件を得た。この結果は現在投稿中である。
二つ目は階数 2 の半安定束のクリフォード指数に対する Mercat 予想 M_2 へのアプローチを行うため、M_2 が成立するための十分条件として Lange, Newstead により知られている曲線の種数とゴナリティに関する評価式の精密化を図ることであった。一般に曲線の2 次クリフォード指数に寄与する階数 2 のベクトル束はその一次チャーン類に対する次数 (p,1) (p>0) のシチジーに対応することが知られている。本研究では M_2 が成立しないことを示す半安定束のうち特に 4 section を持つものを構成する為、これまでに行ってきた 2 次の K3 曲面上の非特異曲線の上の Weierstrass 点における Weierstrass 半群の計算結果を用いて、適当な次元の射影空間の 2 次超曲面への埋め込みを与える直線束の構成を試みた。しかし、Weierstrass 点のスカラー倍では期待していた直線束はうまく構成できないことがわかった。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
与えられたチャーン類を持つ安定 ACM 束の構成については、勝手に与えられた種数とゴナリティを持つ曲線のクラスをピカール格子の生成元に含む K3 曲面の存在結果(Knutsen による) に着目することで、階数 2 の（一次チャーン類に関する）安定 ACM 束の存在を調べる問題はその様な K3 曲面上のある階数 2 の Lazarsfeld-Mukai 束の安定性を調べる問題に帰着できた。それにより、当初考えていた問題はかなり見通しが良くなった。一方、階数 2 の Mercat 予想 M_2 へのアプローチに関しては Lange, Newstead による評価式の精密化に伴い M_2 が成立しない例を構成する際、反例を与える曲線上の階数 2 の半安定束に対応するシチジーの構成が思ったよりも難しく、あまり進展しなかった。
|
| 今後の研究の推進方策 |
一つ目は初年度に引き続き、与えられたチャーン類を持つ階数 2 の安定 ACM 束の存在についての研究を行う。その際、前年度に行っていた K3 曲面上の Lazarsfeld-Mukai 束の（2 つの直線束の拡張で得られるという意味での）分解問題について議論する。その後、これまでに得られた着想に従って、勝手に与えられた曲線のクラスとそのゴナリティをそれぞれ一次、二次のチャーン類に持つような K3 曲面上の階数 2 の安定 ACM 束の存在について考える。
二つ目は曲線上の階数 2 の Mercat 予想 M_2 が成立するための十分条件である Lange, Newstead による評価式の精密化に伴い、M_2 が成立しない例の構成について考える。そこで、本研究では平面曲線の二重被覆として得られる曲線のうち、2 次の K3 曲面 (射影平面の 6 次曲線で分岐する二重被覆) に乗っているものを考え、その上の階数 2 の半安定束について調べる。これまでは 2 次のクリフォード指数に寄与する半安定ベクトル束に対応するシチジーを構成するため、前述のように曲線上の Weierstrass 点における Weierstrass 半群の計算結果を用いた。しかし、期待した次数を持つ直線束は Weierstrass 点の整数倍ではうまく構成できなかった為、まずは曲線上の分岐点からなる Weierstrass ペアを考え、その半群について調べる。更に、それを用いて高次元の射影空間の 2 次超曲面への埋め込みを与えるような基点を持たない直線束の構成を行う。それにより 2 次のクリフォード指数に寄与する階数 2 の半安定束のうち 4 section を持つものに対応するシチジーの存在について考える。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
科研費で支出する予定であった旅費、物品等に関わる経費を学内の別の経費（教室割り当て金等）から支出したため、予定よりも少ない額の支出で済んだ。なお、科研費を使用した研究計画に影響はありません。
|
| 次年度使用額の使用計画 |
【旅費について】期間の前半において、招待講演や研究打ち合わせなどへ情報収集の為出席し、後半において成果報告等で出張するために使用する。また、研究集会の開催に関わる運営費として使用する。
【備品・消耗品について】計算機等のソフトウェアや情報収集の為の図書、及びパソコン等
|
