| 研究実績の概要 |
本研究では良い彩色構造を持つ凸多面体や単体分割に関する研究を行っている。本年度は、主に、単体分割に関連する組合せ論研究を応用して、単項式イデアルの自由分解に関する研究を行った。特に、対称群の作用で固定される単項式イデアルの自由分解の性質について調べ、以下の研究成果を得た。
J. Biermann, H. de Alba, F. Galetto, U. Nagel, A. O'Keefe, T. Roemer, A. Seceleanuらとの共同により、squarefree veroneseイデアルと呼ばれるイデアルのsymbolic powerイデアルのベッチ数を組合せ論的に計算する方法を考案した（現在論文投稿中）。特に、linear quotientと呼ばれる、単体分割のshellabilityを代数的に一般化した概念を用いることが本研究の鍵となった。
また、対称群の作用で固定される単項式イデアルの自由分解の漸近的な性質についても研究を行った。n変数多項式環上のイデアルで、n次対称群の作用で固定されるものがあったとき、そのイデアルを自然にn+1変数多項式環上のn+1次対称群の作用で固定されるイデアルに拡張することができる。この状況で、変数の数をn,n+1,n+2,...と増加させたときに自由分解がどう変化するかに興味が持たれている。本研究では、イデアルが単項式イデアルである場合にこの問題を単体分割の組合せ論を用いた手法により研究し、自由分解に付随する重要な不変量である Castelnuovo-Mumford regularity がnに関する一次式になる、というLe, Nagel, Ngyen, Romerらの予想を単項式イデアルの場合に肯定的に解決した。
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