2017 年度実施状況報告書

偏極多様体の不変量による随伴束の大域切断のなす次元についての研究

研究課題

研究課題/領域番号	16K05103
研究機関	高知大学
研究代表者	福間慶明高知大学, 教育研究部自然科学系理学部門, 教授 (20301319)
研究期間 (年度)	2016-04-01 – 2020-03-31
キーワード	代数学 / 偏極多様体 / 豊富な因子 / 随伴束 / 断面不変量 / Okounkov体
研究実績の概要	平成29年度においては以下のような研究を行った。以下では(X,L)を偏極多様体、KをXの標準因子とする。(1) Xの次元nが5の場合について予想「もしK+(n-1)LがnefならK+(n-1)Lが大域切断を持つ」の考察をさらに進めているが、平成29年度の研究では、さらなる進展が見られなかった。(2) 一般次元の多重偏極多様体の断面種数の値が1以下となる場合の多重偏極多様体の分類に関する結果は得られていたが、断面種数の値が2となるものについての分類を完成させることができ、論文を投稿した。この研究により随伴束の大域切断の次元に関する考察の進展が期待される。(3) 平成29年度の研究で設定した「n次元偏極多様体の随伴束K+tLの大域切断のなす次元が0となるような正整数tの個数がn-1以上のときの偏極多様体の分類」について考察を行い、射影多様体の次元nが6以上の場合、 tがn+1以上の任意の整数に対して偏極多様体の随伴束K+tLの大域切断のなす次元が正であるならば分類ができることを示した。(4) Okounkov体の理論に関するものを現在の研究に応用すべく、文献等を読み進めていった。その結果、偏極多様体の不変量に関する研究に応用できそうであることがわかってきたので、現在この研究を進めている。(5) 4次元偏極多様体に関する随伴束の大域切断のなす次元に関する辻の問題について考察した。具体的には、tが正整数の時、K+(t+1)LとK+tLの大域切断のなす次元の差は0以上となるかについて、4次元偏極多様体の場合に考察し、tが2以上の場合は正しいことを示した。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由平成29年度に設定した研究目標のうち研究実績の概要にある(1)については進展がなかったが、その他については進展したのでおおむね順調に進んでいると判断した。平成29年度の研究結果をもとに今後の考察に期待したい。
今後の研究の推進方策	今後の方針は以下のものである。(1) Xの次元nが5の場合について予想「もしK+(n-1)LがnefならK+(n-1)Lが大域切断を持つ」の考察をさらに進めていく。(2) 平成29年度までに明らかになった多重偏極多様体の断面種数の値が2以下の分類結果を用いて3次元多重偏極多様体(X,A,B)に対して随伴束K+A+Bの大域切断のなす次元が2の時の(X,A,B)の分類に関する研究を行う。(3) 「n次元偏極多様体の随伴束K+tLの大域切断のなす次元が0となるような正整数tの個数がn-1以上のときの偏極多様体の分類」について、nが6以上の場合の考察を引き続き行う。(4) n次元偏極多様体(X,L)に対し、K+nLの大域切断のなす次元が2となる(X,L)の分類を研究する。(5)Okounkov体の理論に関するものを現在の研究に応用すべく、さらに文献等を読み進めていき、偏極多様体の問題に応用していく。(6) 上記の研究の過程で新たな研究課題が生じた場合には、それについて研究を行う。
次年度使用額が生じた理由	残高の関係で研究に必要となる書籍の購入を行うことができず、繰越金が発生した。繰越金は次年度の消耗品として使用することを計画している。