| 研究実績の概要 |
セミステイブルな対数的スムース退化 X がコンパクトかつ適切なケーラー条件をみたすとき、X の相対対数的ドラームコホモロジー群が自然な混合ホッジ構造を持つことは、本研究代表者のこれまでの研究によって証明されている。この自然な混合ホッジ構造のウェイトフィルトレーション L とモノドロミーウェイトフィルトレーション W(N) の一致を証明することが、本研究課題の平成28年度における目標であった。今年度は比較的順調に研究が進展し、この当初の目的である L=W(N) を証明することができた。
まず最初のステップとして、コンパクトかつ適切なケーラー条件をみたすセミステイブルな対数的スムース退化 X の相対対数的ドラーム複体と擬同型であるような、コホモロジカル混合ホッジ複体 (A,L,F) を構成し、さらにこのコホモロジカル混合ホッジ複体から定まるウェイトスペクトル系列の E_1項が多重レフシェッツ加群であることを証明した。さらに、以前より知られていた SL(2,R) × SL(2,R) の表現論を用いる手法を再考察することにより、この多重レフシェッツ加群に SL(2,R) の (k+1) 個の直積に関する表現論を適用することが可能であることを確かめ、その結果として、このウェイトスペクトル系列の E_2項が再び多重レフシェッツ加群の構造を持つことを証明することができた。一方、(A,L,F) がコホモロジカル混合ホッジ複体であることから、ウェイトスペクトル系列が E_2退化する故、上述の結果から X の相対対数的ドラームコホモロジー群において L=W(N) が得られる。
以上の結果を論文として著すべく、現在執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究そのものは概ね予定通り順調に進展し、当初の目標をほとんど達成できたと考えている。
コンパクトで適切なケーラー条件をみたすセミステイブルな対数的スムース退化 X の相対対数的ドラーム複体と擬同型であるようなコホモロジカル混合ホッジ複体 (A,L,F) を構成し、それから定まるウェイトフィルトレーション W がモノドロミーウェイトフィルトレーション W(N) と一致することを証明することが本研究課題の昨年度の目標であった。その際、コホモロジカル混合ホッジ複体 (A,L,F) のウェイトスペクトル系列の E_1項を詳しく調べる必要があるが、多重レフシェッツ加群とう概念を導入することによって、SL(2,R) の (k+1) 個の直積に関する表現論が上手く機能することを見出したことにより E_2項が再び多重レフシェッツ加群の構造をもつことが証明できた。これによって、目的としていた L=W(N) という等式、すなわち二つのウェイトフィルトレーションの一致を示すことができ、当初の予定を達成することができたと認識している。
そこで、得られた結果を論文として執筆することに取り組んだが、こちらは思った以上に煩雑で、極力読み易い形に整理することに予想以上の時間を要したため、論文を完成させることができなかった。さらにこの様な状況から、得られた結果を積極的に発信することが難しく、自身が発表する機会をほとんど持てなかった。これらの二点が若干のマイナス評価であると認識している。
昨年度は、関連の国際学会に参加するため、二度の海外渡航を行ない、海外の研究者達と情報交換できたことは極めて有意義であった。一方で、学内業務繁多も手伝って論文を完成・投稿するには至らず、自分自身が発表する機会も少ないままであった。本年度の課題として取り組む予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度は比較的順調に研究が進展し、ほぼ予定通りの結果を得ることができた。従って、今年度以降も当面、当初の計画に従って研究を進めて行く。
本研究代表者の従前の研究、および平成28年度の本研究課題における研究結果により、コンパクトで適切なケーラー条件をみたすセミステイブルな対数的スムース退化 X の相対対数的ドラームコホモロジー群に自然な混合ホッジ構造を与える方法が二通り存在することが示された。すなわち、従前用いられたコホモロジカル混合ホッジ複体 (K,W,F) を用いる方法と、昨年度得られたコホモロジカル混合ホッジ複体 (A,L,F) を用いる方法である。本年度はまず、従前用いられていた複体 (K,W,F) について、さらに詳細に研究することから始める。
複体 (K,W,F) が単体的構造をもつことを用いて、(K,W,F) 上に自然な積を定義することが、まず第一歩である。次に (K,W,F) のコホモロジー群に自然なトレース射を構成すること、および二つの複体 (A,L,F), (K,W,F) を結び付けるような擬同型 A ---> K を構成することを考える。これに成功すれば、相対対数的ドラームコホモロジー群上に定まる三つのウェイトフィルトレーション L, W, W(N) が全て一致することが証明され、X の相対対数的ドラームコホモロジー群上のウェイトフィルトレーションについて、完全に満足すべき結果が得られたと言って良い。
さらに二つの複体 (A,L,F) と (K,W,F) を適切に使い分けることにより、X の相対対数的ドラームコホモロジー群がもつ混合ホッジ構造に自然な偏極を構成することを目指して研究を進め、次年度には、さらにその先の局所不変サイクル定理の一般化等に向かいたい。
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